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Anzahl der Klammerungsmöglichkeiten berechnen
In dieser Aufgabe geht es um die Anzahl der Klammerungsmöglichkeiten von sechs Zahlen mit fünf Verknüpfungen. Dieses Problem lässt sich durch die sogenannten Catalan-Zahlen lösen.
Die Formel für die n-te Catalan-Zahl ist:
\(
C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}
\)
Die Frage bezieht sich darauf, ob für \(n\) die Anzahl der Zahlen oder der Klammerungen verwendet werden sollte. In diesem Fall repräsentiert \(n\) die Anzahl der Klammerungen (oder operationen), welche der Anzahl der inneren Knoten in einem binären Baum entspricht. Da wir fünf Verknüpfungen haben, also fünf Stellen, an denen geklammert werden kann, verwenden wir \(n=5\).
So berechnen wir die 5-te Catalan-Zahl:
\(
C_5 = \frac{1}{5+1} \binom{2*5}{5} = \frac{1}{6} \binom{10}{5}
\)
Nun berechnen wir \(\binom{10}{5}\):
\(
\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!}
\)
\(
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252
\)
So ist:
\(
C_5 = \frac{1}{6} \times 252 = 42
\)
Also, die Anzahl der Klammerungsmöglichkeiten für sechs Zahlen mit fünf Verknüpfungen beträgt 42.
Der Fehler in der ursprünglichen Überlegung lag darin, dass für \(n\) fälschlicherweise die Anzahl der Zahlen anstatt der Anzahl der Verknüpfungen verwendet wurde. Zudem ist die Formel leicht inkorrekt wiedergegeben worden; die korrekte Formel für die Catalan-Zahl integriert auch die Division durch \(n+1\), was entscheidend für das korrekte Ergebnis ist.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass für die Berechnung der Anzahl der möglichen Klammerungen in dieser spezifischen Aufgabe tatsächlich die Catalan-Zahlen anzuwenden sind, mit \(n = 5\) als die Anzahl der Verknüpfungen, woraus sich 42 als die korrekte Anzahl der Klammerungsmöglichkeiten ergibt.
