Antwort mit KI erzeugt
Titel der Frage: ε-NFA zu einem regulären Ausdruck erstellen
Aufgabe
Frage:
Konstruieren Sie einen zum regulären Ausdruck \(\alpha = (c (aa + (bb)*) )^*\) äquivalenten \(\varepsilon\)-NFA.<br>
Gehen Sie dabei nach dem induktiven Prinzip („Baukastenprinzip“) vor. Fügen Sie insbesondere, alle \(\varepsilon\)-Transitionen ein. Markieren Sie außerdem, welche Komponenten des \(\varepsilon\)-NFAs welchen Teilausdrücken von \(\alpha\) entsprechen.
Lösung
Um einen \(\varepsilon\)-NFA (Nichtdeterministischer endlicher Automat mit \(\varepsilon\)-Übergängen) für den regulären Ausdruck \(\alpha = (c (aa + (bb)*) )^*\) zu erstellen, können wir das induktive Prinzip verwenden. Das bedeutet, wir konstruieren zuerst \(\varepsilon\)-NFAs für die einfacheren Teil-Ausdrücke und kombinieren sie anschließend zur Gesamtlösung.
Schritt 1: Basis-Ausdrücke
- Für jeden Basis-Ausdruck \(a\), \(b\) und \(c\) konstruieren wir triviale \(\varepsilon\)-NFAs:
1. \(\text{NFA für } a\):
(q0) --a--> (q1)
2. \(\text{NFA für } b\):
(q0) --b--> (q1)
3. \(\text{NFA für } c\):
(q0) --c--> (q1)
Schritt 2: Konstruktion für \(aa\)
\nachrichten
\(\text{NFA für } aa\):
(q0) --a--> (q1) --a--> (q2)
Schritt 3: Konstruktion für \(bb^*\)
- Hier benötigen wir eine \(\varepsilon\)-Schleife für \(b\), die jeder Anzahl von \(b\)-Übergängen erlaubt:
(q0) --\varepsilon--> (q1) [Start-Schleife]
(q1) --b--> (q1) [Schleife auf sich selbst]
(q1) --\varepsilon--> (q2) [Ende-Schleife]
Schritt 4: Konstruktion für \(aa + (bb)^*\)
- Wir kombinieren die beiden Wege \(aa\) und \((bb)^*\) durch \(\varepsilon\)-Übergänge:
(q0) --\varepsilon--> (q1) --a--> (q2) --a--> (q3) --\varepsilon--> (q7)
(q0) --\varepsilon--> (q4) --\varepsilon--> (q5) [Start-Schleife]
(q5) --b--> (q5) [Schleife auf sich selbst]
(q5) --\varepsilon--> (q6) [Ende-Schleife]
(q6) --\varepsilon--> (q7)
Schritt 5: Konstruktion für \(c(aa + (bb)^*)\)
- Verbinden des \(c\)-Übergangs mit den resultaten aus der obigen Kombination:
(q0) --c--> (q1)
(q1) --\varepsilon--> (q2, von zuvor)
Schritt 6: Konstruktion für \([c (aa + (bb)^*)]^*\)
- Erstellen eines \(\varepsilon\)-Automaten für die Schleife:
(q0) --\varepsilon--> (q1) [Start-Schleife]
(q1) --c--> (q2, Rest zuvor)
(q7, von zuvor) --\varepsilon--> (q0) [Ende-Schleife]
(q0) --\varepsilon--> (qEnd)
Finales Diagramm
Die \( \varepsilon\)-NFA für \( \alpha = (c (aa + (bb)*) )^*\) kann wie folgt visualisiert werden:
(q0) --\varepsilon--> (q1)
(q1) --c--> (q2)
(q2) --\varepsilon--> (q3) --a--> (q4) --a--> (q5) --\varepsilon--> (q10)
(q2) --\varepsilon--> (q6) --\varepsilon--> (q7)
(q7) --b--> (q7)
(q7) --\varepsilon--> (q8)
(q8) --\varepsilon--> (q10)
(q10)--\varepsilon--> (q0)
(q0) --\varepsilon--> (qEnd)
In dem Diagramm sind die Zustände folgendermaßen verknüpft:
- \( q0 \): Startzustand (initialisiert mit \(\varepsilon\)-Übergang)
- \( q1 \rightarrow qEnd\): Der Schleifenmechanismus für den Ausdruck
- Jeder Ausdruck zeigt, wie \( \varepsilon\)-Transitionen die Automation beeinflussen.
Durch das präzise Verknüpfen und Einflechten von Basiszuständen, die auf Teilausdrücken wie \(aa\) und \((bb)^*\) basieren, können wir den gesamten Automat effizient erstellen.
