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Aufgabe:

Sei G ein zusammenhängender Graph und k ∈ N so gewählt, dass für alle Blöcke B ⊆ G gilt |V (B)| ≤ k.

(i)Geben Sie ohne Begründung einen Algorithmus an, der eine größte, bezüglich Kardinalität,unabhängige Menge in G findet und dessen Laufzeit in O(f(k) p(|V (G)|)) liegt. Dabei soll f : N → N eine beliebige Funktion sein, die ausschließlich von k abhängt,während p: N → N ein Polynom ist,das ausschließlich von |V (G)| abhängt.

(ii) Beweisen Sie die Korrektheit des Algorithmus aus (i).

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Algorithmus

Um eine größte unabhängige Menge in einem Graphen G zu finden, unter der Bedingung, dass für alle Blöcke \(B \subseteq G\) gilt \(|V(B)| \leq k\), benutzen wir einen rekursiven Algorithmus, der dynamische Programmierung und Branching kombiniert. Dieser Ansatz berücksichtigt, dass die maximale Größe eines Blocks durch \(k\) beschränkt ist, was uns ermöglicht, das Problem effizient zu bearbeiten.

1. Schritt 1: Block-Zerlegung. Zerlege den Graphen \(G\) in seine Blöcke. Da der Graph \(G\) zusammenhängend ist, kann diese Zerlegung durch das Finden von Artikulationspunkten erfolgen, was in \(O(|V(G)| + |E(G)|)\) Zeit möglich ist.

2. Schritt 2: Unabhängige Mengen in Blöcken. Für jeden Block \(B\), berechne alle möglichen unabhängigen Mengen. Da \(|V(B)| \leq k\), ist dies durch eine vollständige Untersuchung aller Teilmengen von \(V(B)\) realisierbar. Die Anzahl der Teilmengen eines Blocks ist \(2^{|V(B)|}\), somit ergibt sich die Laufzeit dieses Schrittes als \(O(2^k)\) für jeden Block.

3. Schritt 3: Dynamisches Programmieren (DP) über die Baumstruktur der Blöcke. Jeder Block ist durch Artikulationspunkte mit anderen Blöcken verbunden, was eine Baumstruktur ergibt. Nutze dynamische Programmierung, um die maximale Größe einer unabhängigen Menge über diese Baumstruktur zu bestimmen, indem für jeden Knoten im Baum (repräsentiert durch einen Block oder einen Artikulationspunkt) die beste Kombination von unabhängigen Mengen ausgewählt wird, die keine Konflikte mit bereits gewählten Mengen in angrenzenden Knoten des Baumes aufweisen. Die Laufzeit dieses Schrittes hängt ab von der Tiefe des Baumes und der Anzahl der möglichen unabhängigen Mengen pro Block, was in \(O(f(k) \cdot |V(G)|)\) resultiert, wobei \(f\) eine Funktion von \(k\) ist.

Laufzeit: Der Gesamtalgorithmus läuft in \(O(f(k) \cdot p(|V(G)|))\), wobei \(f(k)=2^k\) (für Schritt 2) und \(p(|V(G)|)\) ein Polynom ist, das die Zeit für die Block-Zerlegung und das dynamische Programmieren repräsentiert.

Korrektheit des Algorithmus

Um die Korrektheit des Algorithmus zu beweisen, gehen wir wie folgt vor:

- Block-Zerlegung. Jeder Block eines zusammenhängenden Graphen kann separat betrachtet werden, da Blöcke maximal zusammenhängende Teilgraphen sind, die keine Artikulationspunkte miteinander teilen. Diese Eigenschaft gewährleistet, dass eine unabhängige Menge in einem Block keine Knoten in einem anderen Block beeinflusst.

- Unabhängige Mengen in Blöcken. Die vollständige Untersuchung aller Teilmengen von Knoten eines Blocks garantiert, dass wir jede mögliche Konfiguration für eine unabhängige Menge betrachten. Da die Größe eines jeden Blocks durch \(k\) beschränkt ist, ist dieser Schritt in Bezug auf \(k\) exponentiell, aber in der Praxis durchführbar, da \(k\) eine Konstante ist.

- Dynamisches Programmieren über die Baumstruktur der Blöcke. Diese Strategie ermöglicht es uns, die maximale unabhängige Menge in \(G\) zu finden, indem wir die optimalen Lösungen von Unterproblemen kombinieren. Durch die Benutzung von DP stellen wir sicher, dass jede Entscheidung über die Einbeziehung eines Blocks oder Artikulationspunktes in die unabhängige Menge die Optimalität der Gesamtlösung berücksichtigt, da DP darauf abzielt, die Globalität durch die Kombination lokaler Optima zu erreichen. Jeder Schritt im DP-Prozess betrachtet und entscheidet basierend auf den bereits berechneten Ergebnissen, um Doppelberechnungen zu vermeiden und die Effizienz zu steigern.

Zusammenfassend basiert die Korrektheit dieses Algorithmus auf der vollständigen Exploration aller möglichen Konfigurationen in einzelnen Blöcken und der intelligenten Kombination dieser Konfigurationen unter Berücksichtigung der Zusammenhänge zwischen den Blöcken durch dynamische Programmierung. Durch die getrennte und vollständige Untersuchung jedes Blocks und die strukturierte Kombination der Ergebnisse wird sichergestellt, dass die größte unabhängige Menge effizient gefunden wird.
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