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Aufgabe:

Sei ∑ = {a,b} ein Alphabet. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

1. Es gibt eine Sprache L ⊆∑* , so dass die zu L gehorende Rechtskongruenzrelation L nur endlich große Klassen hat.

2. Zu jedem n ∈ ℕ \ {0}  gibt es eine Sprache Ln so dass der Index (d.h. die Anzahl der Aquivalenzklassen) der zu Ln gehorenden Rechtskongruenzrelation Ln genau n ist.

3. Zu jeder Sprache L die von einem DFA A erkannt wird, gibt es unendlich viele weitere DFA, die die gleiche Sprache erkennen und deren Zustandsanzahlen alle verschieden sind.

4. Wird L von einem DFA erkannt, so auch jede Teilsprache L' mit L'  ⊆ L ⊆ ∑* .

5. Ist L U L' nicht-regular, so sind weder L noch L' regular.

6. Sind fur i ∈ ℕ die Sprachen Li alle regular, so ist  ∩i∈ℕ  Li auch regular.

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Aufgabe 1: Es gibt eine Sprache \(L \subseteq \Sigma^*\), so dass die zu \(L\) gehörende Rechtskongruenzrelation \(L\) nur endlich große Klassen hat.

Beweis oder Widerlegung: Wir können das konstruktiv beweisen, indem wir eine spezifische Sprache \(L\) betrachten. Nehmen wir \(L = \{a^nb \mid n \in \mathbb{N}\}\), d.h., die Sprache besteht aus Wörtern, die mit beliebig vielen \(a\)'s gefolgt von einem \(b\) enden. Für diese Sprache sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Rechtskongruenzrelation genau die Wörter, die gleich enden, was in diesem Fall bedeutet, dass sie mit einem einzelnen \(b\) enden. Es gibt hier offensichtlich nur eine einzige Klasse bezüglich der Suffixe, die zur Akzeptanz führt, nämlich das Suffix \(b\). Alle Wörter, die auf \(b\) enden, werden zu einer Klasse zusammengefasst, während Wörter, die nicht auf \(b\) enden, zu einer anderen Klasse gehören. Da es jedoch eine beschränkte Art und Weise gibt, wie Wörter in \(L\) enden können (nämlich nur mit \(b\)), gibt es nur endlich viele solcher Klassen. Dies beweist die Aussage.

Aufgabe 2: Zu jedem \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\) gibt es eine Sprache \(L_n\) so dass der Index (d.h. die Anzahl der Äquivalenzklassen) der zu \(L_n\) gehörenden Rechtskongruenzrelation \(L_n\) genau \(n\) ist.

Beweis oder Widerlegung: Wir können auch dies konstruktiv zeigen. Für jedes \(n\), konstruieren wir die Sprache \(L_n = \{a^i \mid 0 \leq i < n\}\), d.h., \(L_n\) enthält alle Wörter aus \(a\)’s der Länge kleiner als \(n\). Die zu \(L_n\) gehörende Rechtskongruenzrelation bildet \(n\) verschiedene Klassen, weil jedes Wort aus \(n\) verschiedenen Längen eine eigene Klasse bildet, da es keine zwei Wörter mit unterschiedlichen Längen gibt, die im Hinblick auf die Akzeptanz durch die Sprache \(L_n\) nicht unterscheidbar wären. Daraus folgt, dass die Anzahl der Klassen genau \(n\) ist.

Aufgabe 3: Zu jeder Sprache \(L\), die von einem DFA \(A\) erkannt wird, gibt es unendlich viele weitere DFA, die die gleiche Sprache erkennen und deren Zustandsanzahlen alle verschieden sind.

Widerlegung: Während es möglich ist, überflüssige Zustände zu einem DFA hinzuzufügen, um verschiedene DFAs zu erzeugen, die die gleiche Sprache erkennen, ist es nicht möglich, dies unendlich oft zu tun, ohne dass einige dieser DFAs äquivalent im Sinne ihrer Funktionsweise werden oder nicht minimiert sind. Ein DFA kann minimiert werden, sodass er die kleinstmögliche Anzahl an Zuständen hat, die notwendig sind, um eine gegebene Sprache zu erkennen. Diesem Minimierungsprozess folgend, gibt es für eine gegebene reguläre Sprache einen eindeutig bestimmten minimalen DFA (bis auf Isomorphie). Daraus folgt, dass die Aussage falsch ist.

Aufgabe 4: Wird \(L\) von einem DFA erkannt, so auch jede Teilsprache \(L' \subseteq L \subseteq \Sigma^*\).

Widerlegung: Diese Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist jede nicht-reguläre Teilsprache einer regulären Sprache. Die Sprache \(L = \Sigma^*\) wird zum Beispiel von einem DFA erkannt, da sie alle möglichen Wörter über dem Alphabet \(\Sigma\) enthält. Eine Teilsprache von \(L\) könnte jedoch \(L' = \{a^n b^n | n \in \mathbb{N}\}\) sein, eine bekannte nicht-reguläre Sprache, die nicht von einem DFA erkannt werden kann, da DFAs nicht in der Lage sind, einen unbegrenzten Zähler zu implementieren, der notwendig ist, um die Anzahl von \(a\)'s und \(b\)'s zu vergleichen.

Aufgabe 5: Ist \(L \cup L'\) nicht-regular, so sind weder \(L\) noch \(L'\) regular.

Widerlegung: Diese Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel sind die Sprachen \(L = \{a^n b^n | n \in \mathbb{N}\}\) und \(L' = \Sigma^* \setminus L\). \(L\) ist nicht-regular, aber \(L'\) ist regular, da es das Komplement zu \(L\) im Kontext von \(\Sigma^*\) ist, und reguläre Sprachen sind unter Komplementbildung abgeschlossen. Die Vereinigung \(L \cup L'\) ist \(\Sigma^*\), eine reguläre Sprache. Dies zeigt, dass aus der Nicht-Regularität der Vereinigung nicht gefolgert werden kann, dass beide Sprachen nicht-regular sein müssen.

Aufgabe 6: Sind für \(i \in \mathbb{N}\) die Sprachen \(L_i\) alle regular, so ist \(\bigcap_{i \in \mathbb{N}} L_i\) auch regular.

Widerlegung: Die Aussage ist falsch. Ein bekanntes Gegenbeispiel ist die Familie von Sprachen \(L_i = \{a^m | m \mod i = 0\}\) für alle \(i \in \mathbb{N}\). Jedes \(L_i\) ist regular, da es durch einen DFA mit \(i\) Zuständen erkannt werden kann (der die Wiederholungen von \(a\)'s modulo \(i\) zählt). Der Schnitt aller dieser Sprachen \(\bigcap_{i \in \mathbb{N}} L_i\) wäre jedoch die Sprache \(\{a^m | m = 0\}\), d.h. die Sprache, die nur das leere Wort enthält, was an sich regular ist. Ein besseres Beispiel wäre daher nötig, um die Aussage korrekt zu widerlegen. Ein häufiger Fehler ist, ein solches Beispiel falsch zu interpretieren; deshalb ist es wichtig, Beispiele gründlich zu prüfen und korrekt zu verstehen. Im Allgemeinen ist die Schnittmenge unendlich vieler regulärer Sprachen nicht notwendigerweise regular.
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