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Korrektheitsbeweis für den Algorithmus zur binären Suche
Der Algorithmus der binären Suche ist darauf ausgelegt, in einem aufsteigend sortierten Array ein Element mit einem spezifischen Schlüssel \(k\) effizient zu finden. Die Grundidee besteht darin, das Array wiederholt in der Mitte zu teilen und nur in dem Teil weiterzusuchen, in dem sich das gesuchte Element befinden könnte, basierend auf Vergleichen mit dem mittleren Element. Dies reduziert die Anzahl der notwendigen Vergleiche im Vergleich zu einer linearen Suche erheblich.
Für den Korrektheitsbeweis der binären Suche müssen wir zwei Hauptaspekte betrachten:
1.
Terminierung: Der Algorithmus endet nach einer endlichen Anzahl von Schritten.
2.
Korrektheit: Wenn ein Element mit Schlüssel \(k\) im Array \(A\) vorhanden ist, wird der Algorithmus dieses Element finden.
Annahmen:
- Das Array \(A\) ist aufsteigend sortiert.
- Die Elemente von \(A\) sind eindeutig.
- Der Algorithmus beginnt mit zwei Indizes: \(low = 0\) und \(high = n - 1\), wobei \(n\) die Länge des Arrays ist.
Schritte des Algorithmus:
1. Solange \(low \leq high\), führe die folgenden Schritte aus:
1. Berechne den Index des mittleren Elements, \(mid = \lfloor (low + high) / 2 \rfloor\).
2. Vergleiche das mittlere Element, \(A[mid]\), mit dem gesuchten Schlüssel \(k\).
- Wenn \(A[mid] = k\), wurde das Element gefunden; der Algorithmus endet.
- Wenn \(A[mid] < k\), setze \(low = mid + 1\).
- Wenn \(A[mid] > k\), setze \(high = mid - 1\).
Terminierung:
Der Algorithmus teilt das Intervall, in dem gesucht wird, in jedem Schritt in zwei Hälften, indem entweder der \(low\) oder der \(high\) Index angepasst wird. Dies führt zu einer stetigen Abnahme der Größe des Suchintervalls. Die Anzahl der noch zu prüfenden Elemente halbiert sich mit jedem Schritt, was zu einer logarithmischen Laufzeit (\(\log_2 n\)) führt. Wenn \(low\) größer als \(high\) wird, terminiert der Algorithmus, da das gesuchte Element nicht im Array ist.
Korrektheit:
-
Initial: Zu Beginn des Algorithmus enthält das Suchintervall das gesamte Array, somit auch das gesuchte Element (falls vorhanden).
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Erhaltung: Wenn das mittlere Element nicht das gesuchte Element ist, wird das Suchintervall entsprechend angepasst. Da das Array sortiert ist, sichert die Anpassung von \(low\) oder \(high\), dass das Suchintervall immer den Bereich des Arrays umfasst, in dem das Element, falls es existiert, tatsächlich zu finden wäre.
-
Termination mit Fund: Wenn der Algorithmus terminiert, weil \(A[mid] = k\), folgt dies direkt aus der Tatsache, dass das gesuchte Element gefunden wurde.
Fazit:
Basierend auf den obigen Überlegungen terminiert der Algorithmus immer nach einer endlichen Anzahl von Schritten und findet das Element mit Schlüssel \(k\), falls es im Array \(A\) vorhanden ist. Dies bestätigt die Korrektheit der binären Suche für ein aufsteigend sortiertes Array.
