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Aufgabe:

In dieser Teilaufgabe sei \( A=\{0,1\} \) und es sei
\( \begin{aligned} f: \mathcal{L} & \rightarrow \mathcal{L}, \\ L & \mapsto\{0,1\} \cup(\{0,1\} \cdot L) . \end{aligned} \)
(i) Geben Sie \( L_{1}, L_{2} \backslash L_{1} \) und \( L_{3} \backslash L_{2} \) so explizit wie möglich in der Form \( \{\ldots\} \) an.
(ii) Geben Sie einen arithmetischen Ausdruck \( E \), in dem das Symbol \( n \) vorkommt und die Sprachen \( L_{n}, n \in \mathbb{N}_{0} \), nicht vorkommen, so an, dass für jedes \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt: \( \left|L_{n+1} \backslash L_{n}\right|=E \).
(iii) Geben Sie \( L_{\infty} \) ohne Bezug auf die formalen Sprachen \( L_{n}, n \in \mathbb{N}_{0} \), an.
(iv) Geben Sie eine kontextfreie Grammatik \( G \) so an, dass die von ihr erzeugte formale Sprache \( L(G) \) gleich \( L_{\infty} \) ist.

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