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Aufgabe:

Es sei \( A \) ein Alphabet; es sei \( \mathcal{L} \) die Menge aller formalen Sprachen über \( A \), das heißt, \( \mathcal{L}=\left\{L \mid L \subseteq A^{*}\right\} \); es sei \( f: \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L} \) eine Abbildung derart, dass für jede formale Sprache \( S \in \mathcal{L} \) und jede formale Sprache \( T \in \mathcal{L} \) mit \( S \subseteq T \) gilt: \( f(S) \subseteq f(T) \); es seien die formalen Sprachen \( L_{n}, n \in \mathbb{N}_{0} \), induktiv definiert durch
\( \begin{aligned} L_{0} & =\{\}, \\ \text { für jedes } n \in \mathbb{N}_{0}: L_{n+1} & =f\left(L_{n}\right) ; \end{aligned} \)
und es sei \( L_{\infty} \) die formale Sprache \( \bigcup_{n \in \mathbb{N}_{0}} L_{n} \).


In dieser Teilaufgabe sei \( A=\{() \),\( \} und es sei G=(N, T, \mathrm{~S}, P) \) die Grammatik mit den Nichtterminalsymbolen \( N=\{\mathrm{s}\} \), den Terminalsymbolen \( T=\{() \),\( \} und den Produktionen \)
\( P=\{\mathrm{S} \rightarrow \varepsilon \mid \mathrm{S}(\mathrm{S})\} . \)

Geben Sie eine Abbildung \( f: \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L} \) so an, dass \( L_{\infty}=L(G) \) gilt.

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Aufgabe:

Die Aufgabe verlangt die Angabe einer Abbildung \( f: \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L} \), gegeben eine kontextfreie Grammatik \( G = (N, T, S, P) \) mit den Nichtterminalsymbolen \( N = \{S\} \), den Terminalsymbolen \( T=\{(),\}\) und den Produktionen \( P = \{S \rightarrow \varepsilon \mid S(SS)\} \). Ziel ist es, \( L_{\infty} = L(G) \) zu erfüllen, wobei \( L_{\infty} \) die Vereinigung aller formalen Sprachen \( L_n \) mit der Eigenschaft \( L_0 = \{\} \) und \( L_{n+1} = f(L_n) \) ist.

Lösung:

Zu beachten ist, dass \( L(G) \), die Sprache der Grammatik \( G \), alle wohlgeformten Klammerausdrücke im Alphabet \( A = \{(),\} \) umfasst. Dies schließt leere Strings (dargestellt durch \( \varepsilon \)), einfache Klammern \( () \), Verschachtelungen wie \( (()()) \) und so weiter ein.

Um \( L_{\infty} = L(G) \) zu erreichen, muss die Abbildung \( f \) daher auf eine Weise definiert werden, die die Produktion von neuen wohlgeformten Klammerausdrücken aus den bereits vorhandenen ermöglicht. Mit Blick auf die Produktionen \( P = \{S \rightarrow \varepsilon \mid S(SS)\} \), kann eine entsprechende Abbildung \( f \) folgendermaßen definiert werden:

Für eine formale Sprache \( S \) fügt \( f \) zu jedem Element von \( S \) eine Verschachtelung hinzu, sowie das Element selbst nochmal in geklammerte Form. Formal kann dies wie folgt ausgedrückt werden:

\( f(S) = \{ w | w = (x) \text{ für ein } x \in S \} \cup \{ () \} \)

Da\( L_0 = \{\} \), fügen wir im ersten Schritt die Basis \( f(L_0) = \{ () \} \) hinzu, was der Produktion \( S \rightarrow \varepsilon \) entspricht.

Für den nächsten Schritt, \( L_{n+1} \), verwenden wir \( f \) so, dass alle bisher generierten wohlgeformten Klammerstrukturen erweitert werden, und fügen zu diesen neuen erweiterten Strukturen die Basis \( () \) hinzu, um sicherzustellen, dass alle früheren Strukturen erhalten bleiben und neue hinzugefügt werden.

So sieht der Ausdruck für \( L_{n+1} \) aus:

\( L_{n+1} = \{ (w) | w \in L_n \} \cup L_n \)

Dies setzt die Produktion \( S \rightarrow S(SS) \), sowie \( S \rightarrow \varepsilon \) um, indem sowohl die leere Klammersetzung als auch alle daraus ableitbaren, durch vorherige Schritte erzeugten Klammersetzungen berücksichtigt werden.

Zusammenfassend sorgt diese spezielle Definition der Abbildung \( f \) dafür, dass \( L_{\infty} \), welches die Vereinigung aller durch die Abbildung über die Zeit generierten Sprachen \( L_n \) ist, mit \( L(G) \) übereinstimmt, da genau alle wohlgeformten Klammerausdrücke im Alphabet \( A \) erzeugt werden.
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Gefragt 11 Nov 2015 von Gast
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