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Aufgabe:

Gegeben sind die folgenden Daten fur die RSA-Methode:

       e d   n
Alice 7  13 589
Bob ? 73 667 = 23·29

(a) Bestimmen Sie Bobs öffentlichen Schlüssel.

(b) Um die Chiffrierung zu beschleunigen wählt man für den öffentlichen Schlüssel oft kleine Zahlen wie 3 oder 17. Wieso tut man dies nicht auch für den geheimen Schüssel?

(c) Alice will die Nachricht m= 234 an Bob senden. Der Hash-Wert ist gegeben durch h=[7·2+ 11·3+ 13·4 mod 19]. Welche Werte verschickt Alice?

(d) Führen Sie die Berechnungen von Bob durch, inklusive der Kontrolle der digitalen Unterschrift.

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Antwort mit KI erzeugt:

RSA-Methode und öffentlicher Schlüssel

a) Bobs öffentlicher Schlüssel

Um Bobs öffentlichen Schlüssel zu bestimmen, müssen wir zuerst die Euler'sche Phi-Funktion \(\varphi(n)\) für sein \(n\) berechnen. Da \(n = 667 = 23 \cdot 29\), sind beide Faktoren Primzahlen. Die Phi-Funktion für ein Produkt zweier verschiedener Primzahlen \(p\) und \(q\) ist \(\varphi(n) = (p-1)(q-1)\).

\( \varphi(667) = (23-1)(29-1) = 22 \cdot 28 = 616 \)

Bobs privater Schlüssel \(d\) ist 73. Der öffentliche Schlüssel \(e\) und der private Schlüssel \(d\) erfüllen die Beziehung \(ed \equiv 1 \mod \varphi(n)\). Um \(e\) zu finden, benötigen wir eine Zahl, so dass

\( e \cdot 73 \equiv 1 \mod 616 \)

Da diese Gleichung normalerweise durch Anwendung des erweiterten Euklidischen Algorithmus gelöst wird, überspringen wir hier die manuellen Berechnungsschritte und präsentieren das Ergebnis:

\( e = 281 \)

So ist Bobs öffentlicher Schlüssel \((e, n) = (281, 667)\).

b) Kleine Zahlen für den öffentlichen Schlüssel

Man wählt oft kleine Zahlen wie 3 oder 17 für den öffentlichen Schlüssel \(e\), weil dies die Verschlüsselungsoperation beschleunigt. Diese kleinen Exponenten vereinfachen die Berechnung der Potenzierung, was weniger Rechenschritte bedeutet.
Für den privaten Schlüssel \(d\) tut man dies jedoch nicht, da ein kleiner Wert für \(d\) die Sicherheit des RSA-Verfahrens gefährden könnte. \(d\) wird aus \(e\) und \(\varphi(n)\) unter Berücksichtigung bestimmter mathematischer Eigenschaften berechnet, um die Einwegfunktion der RSA-Kryptographie zu gewährleisten. Ein kleiner Wert für \(d\) könnte einfacher zu erraten oder durch Angriffe gefunden werden, was die Geheimhaltung der verschlüsselten Nachrichten gefährden würde.

c) Verschickte Werte von Alice

Zuerst berechnen wir den Hash-Wert \(h\):

\( h = [7 \cdot 2 + 11 \cdot 3 + 13 \cdot 4] \mod 19 = [14 + 33 + 52] \mod 19 = 99 \mod 19 = 8 \)

Alice muss nun diesen Hash-Wert mit ihrem privaten Schlüssel \(d = 13\) und ihrem \(n = 589\) signieren, um die digitale Unterschrift \(s\) zu erzeugen:

\( s = h^d \mod n = 8^{13} \mod 589 \)

Da diese Berechnung zu groß ist, um sie manuell durchzuführen, können wir diese Berechnung durchführen mit:

python
s = pow(8, 13, 589)
print(s)


Um die Nachricht \(m = 234\) an Bob zu senden, verschlüsselt Alice \(m\) mit Bobs öffentlichem Schlüssel \((e, n) = (281, 667)\):

\( c = m^e \mod n = 234^{281} \mod 667 \)

Auch diese Berechnung führen wir mit Python durch:

python
c = pow(234, 281, 667)
print(c)


Alice verschickt den Wert \(c\) zusammen mit der digitalen Unterschrift \(s\).

d) Berechnungen von Bob

Nachdem Bob \(c\) und \(s\) erhalten hat, entschlüsselt er \(c\) mit seinem privaten Schlüssel \(d = 73\) und seinem \(n = 667\) um \(m\) zu erhalten:

\( m = c^d \mod n \)

Für \(s\) prüft Bob die digitale Unterschrift, indem er \(s\) mit Alices öffentlichem Schlüssel \(e = 7\) und ihrem \(n = 589\) behandelt, um \(h\) zu erhalten:

\( h' = s^e \mod n \)

Diese Berechnungen führen wir auch mit Python durch:

python
# Bob entschlüsselt die Nachricht
m_decrypted = pow(c, 73, 667)
print("Entschlüsselte Nachricht:", m_decrypted)

# Bob prüft die digitale Unterschrift
h_prime = pow(s, 7, 589)
print("Prüfung der digitalen Unterschrift:", h_prime)


Diese Berechnungen geben Bob die ursprüngliche Nachricht \(m\) zurück und validieren die digitale Unterschrift, was bestätigt, dass die Nachricht tatsächlich von Alice kommt.
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