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Aufgabe:

Geben Sie alle Suchbäume mit vier inneren Knoten an, die jeweils von genau einer Permutation der Zahlen 1,....., 4 erzeugt werden, und nennen Sie die Permutationen.

Begründen Sie, weshalb alle anderen Suchbäume mit vier inneren Knoten mit den Zahlen von 1 bis 4 von mehreren Permutationen erzeugt werden.

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Suchbäume

Ein Suchbaum ist ein Baum, in dem alle Knoten so organisiert sind, dass für jeden Knoten \(v\) alle Schlüssel im linken Unterbaum von \(v\) kleiner als der Schlüssel von \(v\) und alle Schlüssel im rechten Unterbaum von \(v\) größer als der Schlüssel von \(v\) sind. Die Aufgabe bezieht sich auf binäre Suchbäume, die mit einer bestimmten Reihenfolge von Schlüsseln (in diesem Fall die Zahlen 1 bis 4) erzeugt werden.

Da hier nach Suchbäumen mit vier inneren Knoten gefragt ist, die ausschließlich durch eine Permutation der Zahlen 1 bis 4 entstehen, werden wir zunächst eine Definition für eine spezielle Kategorie von Bäumen festlegen. Diese Kategorie umfasst Bäume, die eine eindeutige Form haben, abhängig von der Reihenfolge, in der die Werte eingefügt werden. Das bedeutet, dass für jeden dieser Bäume nur eine spezifische Sequenz (Permutation) von Einfügungen zu ihrer einzigartigen Struktur führt.

Einzigartige Suchbäume mit vier Knoten

Für eindeutige Suchbäume mit vier Knoten betrachten wir die Extremfälle, in denen die Bäume entweder streng monoton wachsend oder fallend sind. In einer allgemeinen Betrachtung der möglichen binären Suchbäume werden diese Extremfälle durch das sequentielle Einfügen der Zahlen in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge erzeugt.

- Wachsende Reihenfolge: (1, 2, 3, 4)
- Fallende Reihenfolge: (4, 3, 2, 1)

Permutationen und Baumstrukturen

Für die Sequenz (1, 2, 3, 4):
1. Beginnen wir mit der 1. Da es keine anderen Zahlen gibt, ist 1 die Wurzel.
2. 2 wird eingefügt, was zu einem rechten Kind von 1 führt, da 2 größer ist.
3. 3 wird eingefügt und wird ein rechtes Kind von 2, da es größer ist.
4. 4 wird eingefügt und wird ein rechtes Kind von 3, was in einem völlig unausgeglichenen Baum resultiert, bei dem alle Knoten außer der Wurzel rechte Kinder sind.

Für die Sequenz (4, 3, 2, 1):
1. 4 wird als Wurzel eingefügt.
2. 3 wird eingefügt und wird ein linkes Kind von 4, da es kleiner ist.
3. 2 wird eingefügt und wird ein linkes Kind von 3.
4. 1 wird eingefügt und wird ein linkes Kind von 2, was zu einem völlig unausgeglichenen Baum resultiert, bei dem alle Knoten außer der Wurzel linke Kinder sind.

Begründung für Uniqueness

Alle anderen Permutationen der Zahlen 1 bis 4 führen zu Bäumen, die in ihrer Struktur nicht einzigartig sind, basierend auf der Eigenschaft, dass verschiedene Einfügereihenfolgen zum gleichen Baum führen können. Beispielsweise kann ein Baum, in dem 2 die Wurzel ist und 1, 3, und 4 jeweils das linke Kind, rechtes Kind, und rechtes Kind des rechten Kindes sind, durch verschiedene Sequenzen erreicht werden, solange 2 zuerst eingefügt wird, gefolgt von einer Einfügung von 1 und 3 in irgendeiner Reihenfolge, bevor 4 das letzte eingefügte Element ist.

Solche Bäume haben eine weniger strenge Struktur im Vergleich zu den oben genannten streng monoton wachsenden oder fallenden Bäumen. Dadurch können mehrere Permutationen denselben Baum erzeugen, da die Reihenfolge der Einfügung für manche Knoten variiert werden kann, ohne die endgültige Struktur des Baumes zu ändern.

Alle anderen Bäume mit einem weniger stringenten Einfügemuster können daher aufgrund der flexiblen Reihenfolgen, in denen die Werte eingefügt werden können, durch mehrere Permutationen erzeugt werden. Diese Flexibilität in den Einfügereihen folgen führt zur Möglichkeit, durch unterschiedliche Sequenzen denselben Endzustand des Baumes zu erreichen, was bedeutet, dass solche Bäume nicht einzigartig nach der Einfügesequenz sind.
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