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Was ist bspw. die alternierende Quersumme von 011101101?

Ich habe schon Probleme mit dem Begriff Quersumme im binären Zahlensystem, irgendwo habe ich in einem Thread etwas gelesen, wie  q(00111010) = 4, dann hätte man ja 1+1+1+1= 4 gerechnet, aber 1+1+1+1=0 im Binären, oder? Was dann wenig Sinn geben würde...

Das Verständnisproblem entstand bei der Frage, wie man prüfen kann, ob eine Zahl im Binären durch 3 teilbar ist.

Also eine Binärzahl ist durch 3 teilbar , wenn die alternierende Quersumme durch drei teilbar ist.


Die Operation q(n) soll einfach die Quersumme für eine Zahl n berechnen.

von

1 Antwort

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quersumme(011101101) = 237

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ab hier irrelevant, aber vielleicht interessant für dich:

Es sei d\(_i\) die Ziffer an der i-te Stelle einer Binärzahl (ich zähle von rechts los, also d\(_0\) ist die kleineste Zweierpotenz). 

Dann kann man jede Binärzahl b schreiben als:
b=\(\sum\limits_{i=0}^n d_i \cdot 2^i \)


Jetzt kenn ich des folgendermaßen, wie definieren m\(_i\) = 1 für i gerade und m\(_i\) = -1 für i ungerade.


Erweitere den Summenausdruck mit + 0:

b=\(\sum\limits_{i=0}^n d_i \cdot 2^i  + d_i \cdot m_i - d_i \cdot m_i\)


womit nichts verändert wurde, und fasse das etwas anders zusammen
b=\(\sum\limits_{i=0}^n d_i \cdot (2^i  - m_i) + \sum\limits_{i=0}^n d_i \cdot m_i \)


Jetzt können wir es ja leicht ausrechnen für dein Beispiel: 011101101

b = \(\sum\limits_{i=0}^8  d_i \cdot (2^i  - m_i) + \sum\limits_{i=0}^8 d_i \cdot m_i  \\= d_0 \cdot (2^0 - m_0) + d_1 \cdot (2^1 - m_1) + d_2 \cdot (2^2 - m_2) + d_3 \cdot (2^3 - m_3) + d_4 \cdot (2^4 - m_4) + d_5 \cdot (2^5 - m_5) + d_6 \cdot (2^6 - m_6) + d_7 \cdot (2^7 - m_7) + d_8 \cdot (2^8 - m_8) +d_0 \cdot m_0 + d_1 \cdot m_1 + d_2 \cdot m_2 + d_3 \cdot m_3 + d_4 \cdot m_4 + d_5 \cdot m_5 + d_6 \cdot m_6 + d_7 \cdot m_7 + d_8 \cdot m_8\\= 1 \cdot (2^0 - 1) + 0 + 1 \cdot (2^2 -1) + 1 \cdot (2^3 +1) + 0 + 1 \cdot (2^5 +1) + 1 \cdot (2^6-1) + 1 \cdot (2^7 +1) + 0 + 1 \cdot 1 + 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot -1 + 0 + 1 \cdot -1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot -1 + 0  \) = 237


Hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte:)

von

Danke für deine Antwort :)

Ich verstehe zwar rein mathematisch wie du die Summe umgeformt hast und wie du zu dem Ergebnis kommst, aber ich bin mir nicht sicher welchen Schluss ich daraus ziehen sollte.

Meine Vermutung: $$ \sum\limits_{i=0}^n d_i \cdot m_i  $$ könnte die alternierende Quersumme sein.

Oder?


Obwohl, dann gilt:  $$ 1 \cdot 1 + 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot -1 + 0 + 1 \cdot -1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot -1 + 0 =0 $$ Aber 0 ist durch 3 teilbar und 237 nicht.

Oh, 237 ist durch 3 teilbar :D Also bleibe ich bei meiner Vermutung...

Deine Vermutung stimmt nicht ganz:

$$\sum\limits_{i=0}^n d_i⋅(2^i−m_i)+\sum\limits_{i=0}^n d_i⋅m_i$$

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