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Gegeben sei eine Boolesche Funktion f, die mit folgender Wahrheitstabelle dargestellt wird:

blob.png                      blob.png

(a) Zeichnen Sie das KV-Diagramm der Funktion f.
(b) Bestimmen Sie alle Implikanten der Booleschen Funktion f. Geben Sie dabei die Ordnung
der Implikanten mit an.
(c) Bestimmen Sie alle Primimplikanten der Booleschen Funktion f.
(d) Bestimmen Sie alle Kernprimimplikanten der Booleschen Funktion f.
(e) Geben Sie die Disjunktive Minimalform (DMF) der Booleschen Funktion f an.
(f) Bestimmen Sie alle Implikate der Booleschen Funktion f. Geben Sie dabei die Ordnung der
Implikate mit an.
(g) Bestimmen Sie alle Primimplikate der Booleschen Funktion f.
(h) Bestimmen Sie alle Kernprimimplikate der Booleschen Funktion f.
(i) Geben Sie die Konjunktive Minimalform (KMF) der Booleschen Funktion f an.
Achten Sie darauf, dass Ihr Lösungsweg stets erkennbar ist

von

1 Antwort

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a)

Mit der Wahrheitstabelle das KV-Diagramm erstellen:

a.png

Beispiel:

a, b, c, d = 0 -> f = 0, ist oben links im KV-Diagramm, da ¬a ∧ ¬b ∧ ¬c ∧ ¬d = 0.


b)

Implikanten 0. Ordnung lassen sich leicht aus der Wahrheitstabelle ablesen:

¬a ∧ ¬b ∧ ¬c ∧ d

a ∧ b ∧ c ∧ ¬d

a ∧ b ∧ ¬c ∧ ¬d

¬a ∧ b ∧ ¬c ∧ d

¬a ∧ b ∧ c ∧ ¬d

¬a ∧ b ∧ c ∧ d

a ∧ ¬b ∧ c ∧ ¬d

a ∧ ¬b ∧ c ∧ d

a ∧ b ∧ ¬c ∧ ¬d

a ∧ b ∧ ¬c ∧ d

a ∧ b ∧ c ∧ ¬d

Implikanten 1. Ordnung lassen sich mit dem KV-Diagramm bestimmen:

a ∧ b ∧ ¬d

a ∧ b ∧ ¬c

b ∧ ¬c ∧ d

¬a ∧ ¬c ∧ d

¬a ∧ ¬b ∧ d

¬a ∧ ¬b ∧ c

¬b ∧ c ∧ d

¬a ∧ c ∧ d

¬a ∧ c ∧ ¬d

a ∧ c ∧ ¬d

¬b ∧ c ∧ ¬d

a ∧ ¬b ∧ c

¬a ∧ b ∧ d

Implikanten 2. Ordnung lassen sich mit dem KV-Diagramm bestimmen:

c ∧ ¬d

¬a ∧ c

¬b ∧ c

¬a ∧ d


c)

Insgesamt:

c.png

Einzeln:

cEinzeln.png

Damit folgende Primimplikanten:

c ∧ ¬d (Orange)

¬a ∧ c (Blau)

¬b ∧ c (Cyan)

¬a ∧ d (Braun)

a ∧ b ∧ ¬d (Grün)

a ∧ b ∧ ¬c (Pink)

b ∧ ¬c ∧ d (Rot)


d)

Insgesamt:

d.png

Einzeln:

deinzeln.png

Damit folgende Kernprimimplikanten:

c ∧ ¬d (Orange)

¬b ∧ c (Cyan)

¬a ∧ d (Braun)

a ∧ b ∧ ¬c (Pink)


e)

Kernprimimplikanten mit ODER verknüpfen um DMF zu bilden:

$$f_{DMF}(a,b,c,d) = (c ∧ ¬d) ∨ (¬b ∧ c) ∨ (¬a ∧ d) ∨ (a ∧ b ∧ ¬c)$$

f)

Implikate 0. Ordnung lassen sich leicht aus der Wahrheitstabelle ablesen:

a ∨ b ∨ c ∨ d

a ∨ ¬b ∨ c ∨ d

¬a ∨ b ∨ c ∨ d

¬a ∨ b ∨ c ∨ ¬d

¬a ∨ ¬b ∨ ¬c ∨ ¬d

Implikate 1. Ordnung lassen sich mit dem KV-Diagramm bestimmen:

¬a ∨ b ∨ c

b ∨ c ∨ d

a ∨ c ∨ d


g)

Eine minimale vollständige Überdeckung finden.

Insgesamt:

g.png

Einzeln:

gEinzeln.png

Damit folgende Primimplikate:

¬a ∨ b ∨ c (Grün)

b ∨ c ∨ d (Blau)

a ∨ c ∨ d (Rot)

¬a ∨ ¬b ∨ ¬c ∨ ¬d (Pink)


h)

Eine minimale vollständige Überdeckung finden.

Insgesamt:

h.png

Einzeln:

hEinzeln.png

Damit folgende Kernprimimplikate:

¬a ∨ b ∨ c (Grün)

a ∨ c ∨ d (Rot)

¬a ∨ ¬b ∨ ¬c ∨ ¬d (Pink)


i)

Kernprimimplikate mit UND verknüpfen um KMF zu bilden:

$$f_{KMF}(a,b,c,d) = (¬a ∨ b ∨ c) ∧ (a ∨ c ∨ d) ∧ (¬a ∨ ¬b ∨ ¬c ∨ ¬d)$$

von

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