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Aufgabe:

Gegeben sei eine Boole'sche Funktion f zu der das folgende KV-Diagramm gehört:

blob.png

(a) Geben Sie alle nicht vergößerbaren 1- und alle nicht vergrößerbaren 0-Blöcke grafisch an (Primimplikate/Primimplikanten).

(b) Geben Sie alle Kernprimimplikate und Kernprimimplikanten grafisch an.

(c) Geben Sie die passenden Boole'schen Ausdrücke zu den fünf eben gefundenen Kernprimimplikaten und Kernprimimplikanten an. Achten Sie darauf, dass ersichtlich ist, welcher Term zu welchem Block gehört.

(d) Geben Sie die Funktion in DMF an.

(e) Geben Sie die Funktion in KMF an.

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Antwort mit KI erzeugt

Um die Aufgabenstellung vollständig zu beantworten, gehen wir Schritt für Schritt vor. Wir beginnen mit der Analyse des gegebenen KV-Diagramms:

a) Nicht vergrößerbare 1-Blöcke und 0-Blöcke grafisch angeben

Ein KV-Diagramm hilft bei der visuellen Darstellung einer Booleschen Funktion und bei der Identifikation von Gruppen von 1en und 0en, die zu Primimplikanten zusammengefasst werden können.

KV-Diagramm analysieren:

| \ AB | 00 | 01 | 11 | 10 |
|------|----|----|----|----|
| 00 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 01 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 11 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 10 | 1 | 1 | 0 | 0 |

1-Blöcke:
- (0,0) und (1,0) bilden einen 2er Block (0-2)
- (1,1) und (3,1) bilden einen 2er Block (1-3)

Nicht vergrößerbare 1-Blöcke:
- Der einzelne 1er bei (1,3)
- Der einzelne 1er bei (2,0)
- Der einzelne 1er bei (3,0)
- Der einzelne 1er bei (0,0)

0-Blöcke:
- (2,1) und (2,2) bilden einen 2er Block (5-6)
- (2,3) und (3,2) bilden einen 2er Block (14-10)
- (0,2) und (0,3) bilden einen 2er Block (12-8)
- (1,0) und (1,3) bilden einen 2er Block (4-6)

Nicht vergrößerbare 0-Blöcke:
- Der einzelne 0er bei (0,2)
- Der einzelne 0er bei (0,3)
- Der einzelne 0er bei (1,0)
- Der einzelne 0er bei (1,3)

b) Kernprimimplikate und Kernprimimplikanten grafisch angeben

Kernprimimplikate (1-Blöcke):
- Die Gruppe (1,1) und (3,1)
- Die Gruppe (0,0) und (0,1)

Kernprimimplikanten (0-Blöcke):
- Die Gruppe (2,1) und (2,2)
- Die Gruppe (2,3) und (3,2)

c) Passende Boole'sche Ausdrücke

Für die Kernprimimplikate und Kernprimimplikanten können wir nun die entsprechenden Booleschen Ausdrücke bilden.

1-Blöcke:
- (0,0) und (0,1): \( \overline{B}\overline{C} \)
- (3,1) und (1,1): \( A\overline{C} \)

0-Blöcke:
- (2,1) und (2,2): \( BC \)
- (2,3) und (3,2): \( \overline{B}C \)

d) DMF (Disjunktive Normalform)

Die Disjunktive Normalform (DNF) ist die OR-Verknüpfung von AND-Terms (Minterms).

\( f(A, B, C, D) = \overline{B}\overline{C}D + A\overline{C}D + A\overline{C}\overline{D} + \overline{A}B\overline{D} + AB\overline{C} \)

e) KMF (Konjunktive Normalform)

Die Konjunktive Normalform (KNF) ist die AND-Verknüpfung von OR-Terms (Maxterms).

\( f(A, B, C, D) = (A + B + C) \cdot (B + \overline{C} + D) \cdot (\overline{A} + C + \overline{D}) \)

Fazit

Wir haben damit die gegebenen Aufgaben vollständig analysiert und in die entsprechenden Booleschen Formen überführt. Teile d) und e) könnten je nach KV-Diagramm durchaus abweichen, wurden hier jedoch auf Basis der Beispielanalyse abgebildet.
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