Erfüllbarkeit von Mengen

Question

Wir haben die Formelmenge F = {F1, F2, F3,...} gegeben und sollen unter der Verweundung des Kompaktheitssatzes zeigen, dass F genau dann erfüllbar ist,  wenn für jedes n ≥ 1 die Formel erfüllbar ist:

(∧ ^(n)  (dann unter (n) steht) (i=1)  Fi)

also wenn ich mich nicht irre wird das so gelsen:

für alle Elemente von i = 1 bis n   Fi

Hallo,

das hier ist die letzte Aufageb auf dem Übungsblatt und ich habe leider absolut keine Ahnung. Ich würde mich fereuen wenn man mich hier bei der Aufgabe unterstützen würde.

LG

Answer 1

\(\bigwedge_{i=1}^n F_i\) ist die Konjunktion aller \(F_i\) mit \(i\in{1,\dots,n}\), also

• \(\bigwedge_{i=1}^2 F_i = F_1\wedge F_2\)
• \(\bigwedge_{i=1}^3 F_i = F_1\wedge F_2\wedge F_3\)
• \(\bigwedge_{i=1}^4 F_i = F_1\wedge F_2\wedge F_3\wedge F_4\)
• \(\bigwedge_{i=1}^5 F_i = F_1\wedge F_2\wedge F_3\wedge F_4 \wedge F_5\)
  

und so weiter.

Sei \(F\) erfüllbar. Sei \(\beta\) ein Modell von \(F\). Dann ist \(\beta\) ein Modell von \(F_i\) für jedes \(i\in \mathbb{N}\). Also ist \(\beta\) ein Modell von \(\bigwedge_{i=1}^n F_i\) für jedes \(n\in \mathbb{N}\). Das war die einfache Richtung.

Sei \(\bigwedge_{i=1}^n F_i\) für jedes \(n\in \mathbb{N}\) erfüllbar.

Sei M ⊂ F endlich. Falls M erfüllbar ist, dann ist laut des Kompaktheitssatzes auch F erfüllbar, weil dann jede endliche Teilmenge von F erfüllbar ist.

Begründe, dass M erfüllbar ist.