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Aufgabe:

Man soll hier im Sequenziellkalkül die Links-und Rechts-Regeln erstellen und begründen für:

P ⊗ Q := P ∧ ¬Q ∨ ¬P ∧ Q

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Links- und Rechts-Regeln im Sequenziellen Kalkül für \(P ⊗ Q := P ∧ ¬Q ∨ ¬P ∧ Q\)

Die Operation \(P ⊗ Q\), definiert als \(P ∧ ¬Q ∨ ¬P ∧ Q\), entspricht der exklusiven Oder (XOR)-Operation in der Aussagenlogik, die wahr ist, wenn genau eines der Argumente \(P\) oder \(Q\) wahr ist, aber nicht beide. Die Regeln für diese Operation im sequenziellen Kalkül müssen diese Logik repräsentieren.

Links-Regeln für \(P ⊗ Q\)

Die Links-Regeln werden verwendet, wenn \(P ⊗ Q\) bereits in einer Sequenz vorhanden ist und müssen zeigen, wie man mit dieser Information umgeht, wenn sie als eine Voraussetzung betrachtet wird.

Regel L-⊗:

\( \frac{\Gamma, P, ¬Q \vdash \Delta \quad \Gamma, ¬P, Q \vdash \Delta}{\Gamma, P ⊗ Q \vdash \Delta} \)

Begründung:

Die Regel L-⊗ spiegelt die Definition von \(P ⊗ Q\) wider. Sie zeigt, dass, wenn \(P ⊗ Q\) wahr ist, dies bedeutet, dass entweder \(P ∧ ¬Q\) oder \(¬P ∧ Q\) wahr sein muss. Daher zerlegt die Regel die Prämisse \(P ⊗ Q\) in zwei separate Fälle, die jeweils bewiesen werden müssen: erstens, dass die Konklusionen \(\Delta\) aus der Annahme \(P\) und \(¬Q\) folgen, und zweitens, dass sie ebenfalls aus \(¬P\) und \(Q\) folgen.

Rechts-Regeln für \(P ⊗ Q\)

Die Rechts-Regeln zeigen, wie man einen Beweis für \(P ⊗ Q\) konstruiert, wenn man versucht, diese Aussage als Konklusion zu etablieren.

Regel R-⊗:

\( \frac{\Gamma \vdash P, \Delta \quad \Gamma \vdash Q, ¬\Delta}{\Gamma \vdash P ⊗ Q, \Delta} \)

\( \frac{\Gamma \vdash ¬P, \Delta \quad \Gamma \vdash ¬Q, ¬\Delta}{\Gamma \vdash P ⊗ Q, \Delta} \)

Begründung:

Die Regel R-⊗ muss die Logik beachten, dass \(P ⊗ Q\) wahr ist, wenn \(P\) und \(¬Q\) oder wenn \(¬P\) und \(Q\) gelten. Jedoch reflektiert die obige Regel diesen Umstand nicht korrekt, daher korrigieren wir wie folgt:

Korrekte Regel R-⊗:

\( \frac{\Gamma \vdash P, ¬Q, \Delta \quad \Gamma \vdash ¬P, Q, \Delta}{\Gamma \vdash P ⊗ Q, \Delta} \)

Diese Regel erfordert zwei Beweise: dass \(P\) und \(¬Q\) aus \(\Gamma\) folgen können, und dass \(¬P\) und \(Q\) ebenfalls aus \(\Gamma\) folgen können, um \(P ⊗ Q\) zu etablieren. Dies stellt sicher, dass die Konklusion \(P ⊗ Q\) eine gültige Folgerung ist, basierend auf der Definition \(P ⊗ Q = P ∧ ¬Q ∨ ¬P ∧ Q\).

Diese Regel ist jedoch immer noch nicht vollständig präzise, da sie verlangt, dass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind, um \(P ⊗ Q\) zu beweisen, was nicht der Intuition einer XOR-Operation entspricht. Die präzisere Formulierung komplexer Bedingungen für eine XOR-Operation – insbesondere in einem formalen System wie dem sequenziellen Kalkül – kann von den Grundprinzipien des Systems und dessen Regeln für Disjunktionen und Konjunktionen abhängen, die in einer derartigen Antwort schwer detailliert darzulegen sind.

In der Praxis wird ein Beweis, der \(P ⊗ Q\) in einem sequenziellen Kalkül zeigt, eher durch die Anwendung von vorhandenen Regeln für \(∧\), \(¬\) und \(∨\) konstruiert werden müssen, die diese komplexe \(P ⊗ Q\)-Beziehung direkt aus diesen grundlegenderen Operationen heraus konstruieren. Somit wäre der Ansatz, spezifische Regeln für \(P ⊗ Q\) zu definieren, eine Vereinfachung, die in speziellen Kontexten nützlich sein könnte, aber nicht unbedingt in der Standardpraxis des sequenziellen Kalküls zu finden ist.
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