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Formel F = ( ((x*y) + 1) ≤ x + y → x ≤ y) ist gegeben

Berechne å(F) für die passende Struktur

R = ( |R + ^(|R), 0^(|R), 1^(|R), =^(|R), ≤^(|R) ) und für die Belegung α(x) = 3, α(y) = 2  durch Rückführung auf die Definition von å(F).

Hier die Struktur als Bild:

Bildschirmfoto 2019-12-21 um 16.12.24.png

\( \mathfrak{R}=\left(\mathbb{R},+^{R},, 0^{R}, 1^{R},=^{\mathbb{R}}, \leq^{R}\right) \)

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Berechnung von \(å(F)\) für die angegebene Formel

Gegeben ist die Formel \(F = (((x \cdot y) + 1) \leq (x + y) \rightarrow x \leq y)\) unter der Struktur \(\mathfrak{R}=(\mathbb{R}, +^{\mathbb{R}}, 0^{\mathbb{R}}, 1^{\mathbb{R}}, =^{\mathbb{R}}, \leq^{\mathbb{R}})\) und der Belegung \(\alpha(x) = 3, \alpha(y) = 2\).

Schritte:
1. Substitute \(\alpha(x)\) und \(\alpha(y)\) in \(F\).
2. Berechne die Terme und Werte.
3. Ermittle das Ergebnis von \(å(F)\).

1. Substitution:

Substituieren von \(\alpha(x)\) = 3 und \(\alpha(y)\) = 2 in \(F\):
\(F = (((3 \cdot 2) + 1) \leq (3 + 2) \rightarrow 3 \leq 2)\)

2. Berechnung der Terme und Werte:

Berechne zunächst \((3 \cdot 2) + 1\):
\((3 \cdot 2) + 1 = 6 + 1 = 7\)

Berechne \((3 + 2)\):
\(3 + 2 = 5\)

Berechne \(((3 \cdot 2) + 1) \leq (3 + 2)\):
\(7 \leq 5\)
Das ergibt \(\text{False}\), weil 7 nicht kleiner oder gleich 5 ist.

Betrachte jetzt \(3 \leq 2\):
Das ist auch \(\text{False}\), da 3 nicht kleiner oder gleich 2 ist.

3. Ermittlung des Ergebnisses von \(å(F)\):

Die Implikation \(\text{False} \rightarrow \text{False}\) ist in der Logik immer \(\text{True}\), da eine falsche Aussage nicht aus einer anderen falschen Aussage folgen kann.

Fazit:

\(å(F)\) für die angegebene Struktur und Belegung ist \(\text{True}\).

Die zentrale Logik hinter der Berechnung ist das Verständnis, wie logische Implikationen funktionieren: Eine Implikation \(A \rightarrow B\) ist falsch nur dann, wenn \(A\) wahr ist und \(B\) falsch. In allen anderen Fällen ist die Implikation wahr.
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