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Aufgabe:

Seien f, g : N → N monoton wachsende Funktionen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

a) f(n) = Ω(g(n)) ⇒ g(n) = O((f(n))2)

b) Sei h : N → N eine weitere monoton wachsende Funktion. Zudem sei h(n) = O(f(n) + g(n)) und g(n) = O(f(n)). Dann gilt auch h(n) = O(f(n))

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Lösung zu Aufgabe a)

Um zu beweisen, dass \(f(n) = \Omega(g(n))\) impliziert \(g(n) = O((f(n))^2)\), starten wir mit der Definition von \(\Omega\) und \(O\).

- \(f(n) = \Omega(g(n))\) bedeutet, dass es Konstanten \(c_1 > 0\) und \(n_0\) gibt, so dass für alle \(n \geq n_0\) gilt, \(f(n) \geq c_1 \cdot g(n)\).
- \(g(n) = O((f(n))^2)\) bedeutet, dass es Konstanten \(c_2 > 0\) und \(n_1\) gibt, so dass für alle \(n \geq n_1\) gilt, \(g(n) \leq c_2 \cdot (f(n))^2\).

Wir wissen aus der Voraussetzung, dass \(f(n) = \Omega(g(n))\), also existieren \(c_1\) und \(n_0\), womit \(f(n) \geq c_1 \cdot g(n)\) für alle \(n \geq n_0\).

Da \(f(n)\) und \(g(n)\) monoton wachsende Funktionen sind, ist \(f(n)\) nie negativ, und somit ist \(f(n)^2 \geq f(n) \geq c_1 \cdot g(n)\) für alle \(n \geq n_0\). Das heißt, \(g(n) \leq \frac{1}{c_1} \cdot f(n)^2\) für alle \(n \geq n_0\).

Wenn wir \(c_2 = \frac{1}{c_1}\) und \(n_1 = n_0\) wählen, sehen wir, dass \(g(n) \leq c_2 \cdot (f(n))^2\) für alle \(n \geq n_1\) erfüllt ist. Das beweist, dass \(g(n) = O((f(n))^2)\).

Lösung zu Aufgabe b)

Gegeben sind die Bedingungen:
- \(h(n) = O(f(n) + g(n))\): Es existieren Konstanten \(c_1 > 0\) und \(n_0\), so dass für alle \(n \geq n_0\) gilt, \(h(n) \leq c_1 \cdot (f(n) + g(n))\).
- \(g(n) = O(f(n))\): Es existieren Konstanten \(c_2 > 0\) und \(n_1\), so dass für alle \(n \geq n_1\) gilt, \(g(n) \leq c_2 \cdot f(n)\).

Um zu beweisen, dass \(h(n) = O(f(n))\), müssen wir zeigen, dass es Konstanten \(c_3 > 0\) und \(n_2\) gibt, so dass \(h(n) \leq c_3 \cdot f(n)\) für alle \(n \geq n_2\).

Da \(h(n) \leq c_1 \cdot (f(n) + g(n))\), und da \(g(n) \leq c_2 \cdot f(n)\), können wir ersetzen und erhalten:

\( h(n) \leq c_1 \cdot (f(n) + c_2 \cdot f(n)) = c_1 \cdot (1 + c_2) \cdot f(n) \)

Wir setzen \(c_3 = c_1 \cdot (1 + c_2)\) und wählen \(n_2 = \max(n_0, n_1)\), womit sichergestellt ist, dass die Ungleichungen für \(g(n) = O(f(n))\) und \(h(n) \leq c_1 \cdot (f(n) + g(n))\) beide gelten.

Daraus folgt, dass \(h(n) \leq c_3 \cdot f(n)\) für alle \(n \geq n_2\). Somit ist bewiesen, dass \(h(n) = O(f(n))\).
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