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Aufgabe:

OBDD-Synthese bezeichnet ein Verfahren, um aus zwei gegebenen πOBDD Gg und Gh, die jeweils eine logische

Funktion fg bzw. fh repräsentieren, und einer logischen Verknüpfung ⊗, ein kombiniertes πOBDD Gk zu erstellen,
welches die logische Funktion fg ⊗ fh darstellt.

a) Berechnen Sie in dieser Aufgabe für die beiden gegebenen πOBDD G1 und G2 für die beiden Funktionen f1 und

f2, beide mit π = (x1, x2, x3, x4), das synthetisierte πOBDD G3, welches die Funktion f1 ∧ f2 repräsentiert.

b) Geben Sie eine (sinnvolle) obere Schranke für die Laufzeit des Algorithmus in Abhängigkeit von der Variablenordnung π = (x1,..., xn) an und begründen Sie diese Schranke.

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a) πOBDD G3 für die Funktion f1 ∧ f2 synthetisieren

Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir zuerst verstehen, was πOBDDs (ordered binary decision diagrams) sind und wie sie verwendet werden, um die logischen Funktionen darzustellen und zu manipulieren. Ein πOBDD ist eine reduzierte Form eines binären Entscheidungsdiagramms (BDD), das eine Boolesche Funktion repräsentiert. Das "π" bezieht sich auf eine spezifische Variablenordnung, die für die Struktur des OBDDs entscheidend ist.

Das Synthetisieren von \(G_3\), welches \(f_1 ∧ f_2\) repräsentiert, erfordert, dass wir die beiden gegebenen OBDDs \(G_1\) und \(G_2\) zunächst verstehen. Da keine spezifischen OBDDs gegeben wurden, nehmen wir eine generelle Vorgehensweise in Schritten vor.

1. Identifikation der Wurzel: Für beide πOBDDs identifizieren wir die Wurzel, die der Variablen entspricht, die in der gegebenen Reihenfolge π zuerst kommt. Dies ist der Ausgangspunkt des Prozesses.

2. Synthetisierte Operation Anwenden: Wir wenden die logische Operation "∧" (Konjunktion) auf die Entscheidungspunkte beider OBDDs schrittweise an. Dabei folgen wir den Kanten der OBDDs entsprechend den Werten der Variablen (0 für falsch, 1 für wahr).

3. Ergebnisbaum Erstellen: Durch die Anwendung von "∧" entsteht ein neuer Entscheidungsbaum. Dieser repräsentiert die synthetisierte Funktion \(f_1 ∧ f_2\) bevor er in ein OBDD umgewandelt wird.

4. Reduzierung: OBDDs werden für ihre Effizienz geschätzt, weswegen der entstandene Entscheidungsbaum reduziert werden muss. Dabei werden redundante Knoten und Pfade entfernt, um eine minimierte Version des OBDDs zu erhalten. Dies umfasst die Eliminierung identischer Unterbäume und das Zusammenführen gleicher Pfade.

Da keine spezifischen Details zu \(G_1\) und \(G_2\) gegeben sind, können wir nicht weiter ins Detail gehen oder ein spezifisches Beispiel durchrechnen. Die generelle Vorgehensweise sollte jedoch bei der Anwendung auf konkrete OBDDs beibehalten werden.

b) Obere Schranke für die Laufzeit in Abhängigkeit von π

Die Laufzeit der OBDD-Synthese ist von der Größe der Eingabe-OBDDs, der Komplexität der logischen Verknüpfung und der Anzahl der Variablen in der Variablenordnung π abhängig.

Eine sinnvolle obere Schranke für die Laufzeit der Synthese zweier OBDDs zur Repräsentation von \(f_1 ∧ f_2\) mit Variable Order π = (\(x_1, ..., x_n\)) kann als exponentiell in Bezug auf die Anzahl der Variablen ausgedrückt werden. Genauer kann die Schranke durch die Größe des resultierenden OBDDs im schlimmsten Fall dargestellt werden, welches \(O(2^n)\) betragen kann, wenn jede Variable zu einer Verzweigung im OBDD führt, die einen neuen Zustand repräsentiert. Diese exponentielle Grenze ergibt sich aus der Tatsache, dass jede Variable zwei mögliche Wege (wahr oder falsch) im Entscheidungsbaum darstellen kann und in der schlechtesten Konfiguration jede Kombination berücksichtigt werden muss, was eine volle binäre Baumstruktur erzeugt.

Jedoch ist wichtig zu beachten, dass OBDDs durch die Reduzierungsschritte und die effiziente Darstellung von Booleschen Funktionen oft wesentlich kleinere Darstellungen ermöglichen, insbesondere wenn die Funktionen gewisse Redundanzen oder Symmetrien aufweisen. In der Praxis ist die tatsächliche Größe und damit die Laufzeit oft viel geringer als die theoretisch maximale Schranke.
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