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Aufgabe:

Konstruieren Sie eine Turing Maschine über das Alphabet {a,b,0,1,#}, die die Wörter der Form (ab)^n, wobei n>0, akzeptiert. Falls das Wort akzeptiert wurde, überschreiben Sie jeden Buchstabe mit dem Zeichen 1 und gehen Sie in einen Akzeptanzzustand über und falls nicht, überschreiben Sie jeden Buchstaben mit dem Zeichen 0 und verweilen Sie in einem Zustand, der nicht in der Menge aller Akzeptanzzustände enthalten ist.

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Konstruktion einer Turing Maschine für die Aufgabe

Um eine Turing Maschine (TM) zu konstruieren, die Wörter der Form \((ab)^n\) akzeptiert, wobei \(n > 0\), benötigen wir ein endliches Alphabet \(Σ = \{a, b, 0, 1, \#\}\) und ein Bandalphabet \(Γ = Σ \cup \{\square\}\), wobei \(\square\) das leere Symbol (Blanksymbol) repräsentiert.

Die grundlegende Idee hinter dieser TM ist folgende:

1. Die Maschine liest das Eingabewort und überprüft, ob es dem Muster \(ab\) folgt.
2. Wenn das Muster \(ab\) korrekt wiederholt wird und das Wort endet, wird jedes Symbol mit \(1\) überschrieben, um Akzeptanz anzuzeigen.
3. Wenn das Muster nicht korrekt ist, wird jedes Symbol mit \(0\) überschrieben, um Nichtakzeptanz anzuzeigen.

Um dies zu erreichen, benötigen wir mehrere Zustände - einen Anfangszustand, Zustände zur Überprüfung des Musters, Zustände zum Überschreiben der Symbole und Akzeptanz- sowie Ablehnungs(Rejection)-Zustände.

Konzept der Zustände und Übergänge:

- q0: Anfangszustand. Überprüft das erste Zeichen. Wenn \(a\), bewege nach rechts und gehe zu Zustand q1. Andernfalls, gehe zu Zustand qr (Rejection-Zustand).
- q1: Überprüft das zweite Zeichen des Paares. Wenn \(b\), gehe nach rechts und gehe zu Zustand q2. Andernfalls, gehe zu Zustand qr.
- q2: Überprüft, ob das Wort beendet ist oder ob ein neues Paar beginnt. Wenn ein weiteres \(a\), gehe zurück zu q1. Wenn \(\square\) (das Ende des Worts), gehe zu Zustand q3 zum Überschreiben mit 1. Andernfalls, gehe zu Zustand qr.
- q3: Beginnt, jedes Zeichen mit 1 zu überschreiben. Bewegt sich nach links bis zum ersten Zeichen des Wortes.
- q4: Zustand, der jedes Symbol mit \(1\) überschreibt, nachdem q3 erreicht wurde.
- qa: Akzeptanz-Zustand.
- qr: Rejection-Zustand, der jedes Symbol mit \(0\) überschreibt.

Ein möglicher Übergang könnte so codiert werden (vereinfachte visuelle Darstellung ohne Übergänge zum Überschreiben bei Ablehnung):

plaintext
(q0, a) -> (q1, a, R)
(q1, b) -> (q2, b, R)
(q2, a) -> (q1, a, R)
(q2, #) -> (q2, #, R)
(q2, \square) -> (q3, \square, L)
(q3, a) -> (q4, 1, L)
(q3, b) -> (q4, 1, L)
(q3, \square) -> (qa, \square, R) // Akzeptanz
(q4, a) -> (q4, 1, L)
(q4, b) -> (q4, 1, L)
(q4, \square) -> (qa, \square, R) // Wechselt zu Akzeptanz, wenn Anfang erreicht


Dies ist ein grundlegendes Konzept, das weiter modifiziert werden muss, um alle Fälle (inklusive Fehlerfälle) zu behandeln. Insbesondere muss der Ablehnungsfall implementiert werden, bei dem jedes Symbol mit \(0\) überschrieben wird, falls das Wort die gegebene Bedingung nicht erfüllt.

Zusätzliche Überlegungen:

- Zum Überschreiben mit \(0\) in einem Ablehnungsfall wäre ein zusätzlicher Zustand \(qr_i\) nötig, der nach rechts traversiert und jedes Symbol \(\in \{a, b, \square\}\) mit \(0\) überschreibt, bis das Ende des Wortes mit dem Symbol \(\square\) erreicht wird.

Die hier beschriebene Maschine ist eine hochgradig vereinfachte und konzeptuelle Darstellung. Eine vollständig funktionierende Turingmaschine würde zusätzliche Details erfordern, einschließlich präziserer Zustandsübergänge und Überprüfungen, um korrekt auf alle möglichen Eingaben zu reagieren.
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