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Aufgabe:

Betrachten Sie die Grammatik \( G=(\Sigma, N, S, P) \) mit \( \Sigma=\{a, b, c\}, N=\{S, B, C, X\} \) und

\( \begin{aligned} P=\{S& \rightarrow a S a \mid a X a \\ X & \rightarrow B C X \mid B C \\ C B & \rightarrow B C \\ C a & \rightarrow c a \\ C c & \rightarrow c c \\ B c & \rightarrow b c \\ B b &\rightarrow b b\} \end{aligned} \)

(a) Geben Sie eine Ableitung des Wortes \( w=a b b c c a \) bezüglich der Grammatik \( G \) an, wobei Sie nur die unmittelbare Ableitungsrelation nutzen.

(b) Modifizieren Sie \( G \) zu \( G^{\prime} \), so dass \( \lambda \in L\left(G^{\prime}\right) \) und \( L\left(G^{\prime}\right)=L(G) \cup\{\lambda\} \) gelten, indem Sie das Verfahren aus der Vorlesung in dem Abschnitt, ,Sonderregelung für das leere Wort " anwenden.

(c) Geben Sie \( L(G) \) formal als Menge von Wörtern an, ohne weiteren Bezug auf \( G \) zu nehmen.

(d) Betrachten Sie die Grammatik \( G^{\prime \prime}=\left(\Sigma, N, S, P^{\prime \prime}\right) \) mit
\( \Sigma=\{a, b, c\} \quad \text { und } \quad N=\{S, A, B, C, X\} \)

und

\( \begin{aligned} P^{\prime \prime}=\{S& \rightarrow a S a \mid a X a \\ X & \rightarrow B C, \\ B & \rightarrow b B \mid b, \\ & \rightarrow c C \mid c A, \\ A &\rightarrow a,\} \end{aligned} \)

Sind die beiden Grammatiken \( G \) und \( G^{\prime \prime} \) äquivalent? Begründen Sie Ihre Antwort.

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a) Ableitung von \( w=a b b c c a \) in der Grammatik \( G \)

Um die Ableitung des Wortes \( w=abbcca \) nachzuvollziehen, gehen wir schrittweise vor und nutzen nur die unmittelbare Ableitungsrelation:

1. Start mit \( S \)
2. Anwendung von \( S \rightarrow aSa \): \( aSa \)
3. Anwendung von \( S \rightarrow aXa \): \( aaXaa \)
4. Anwendung von \( X \rightarrow BC \): \( aaBCaa \)
5. Anwendung von \( C \rightarrow ca \): \( aaBcaa \)
6. Anwendung von \( B \rightarrow bc \): \( aabccaa \)

Betrachten Sie den Fehler im letzten Schritt: mein Ziel war zu zeigen, wie man Schritt für Schritt vorgeht, aber es sieht so aus, als hätte ich die Ableitungen falsch kombiniert. Um das Wort \( w = abbcca \) genau zu generieren, verbessern wir die Schritte unter der Beachtung, dass wir jede Transformation richtig anwenden:

1. Start mit \( S \)
2. Anwendung von \( S \rightarrow aSa \): \( aSa \)
3. Anwendung von \( S \rightarrow aXa \): \( aaXaa \)
4. Anwendung von \( X \rightarrow BCX \rightarrow BC \) (da wir das Ende des Wortes erreichen möchten): \( aaBCaa \)
5. Anwendung von \( CB \rightarrow BC \) (mehrmals, falls nötig)
6. Anwendung von \( Bc \rightarrow bc \), \( Bb \rightarrow bb \) und \( Ca \rightarrow ca \), \( Cc \rightarrow cc \)

Entschuldigen Sie den Fehltritt im letzten Teil. Zur Korrektur: Die Ableitung sollte genau auf das gewünschte Wort abzielen, und es mag sein, dass ich die Anwendbarkeit einiger Regeln fälschlicherweise vermischt habe. Korrekt wäre die sequenzielle Anwendung der Regeln, die schließlich zu \( abbcca \) führen, wobei speziell die Produktionsregeln in Bezug auf die Terminalzeichen \( b \) und \( c \) strategisch eingesetzt werden müssen, um die richtige Sequenz von \( b \)s und \( c \)s zu erzeugen. Bei genauer Betrachtung benötigen wir eine konsistente Folge von Anwendungen der gegebenen Regeln, die sowohl \( bc \)- als auch \( ca \)-Übergänge abdeckt, was in diesem Kontext nicht direkt gezeigt wurde.

b) Modifikation von \( G \) zu \( G^{\prime} \)

Um \( \lambda \) (das leere Wort) in die Sprache einzuführen, benötigen wir eine Regel, die es ermöglicht, direkt von \( S \) zu \( \lambda \) zu gelangen, ohne weitere Zeichen zu produzieren. Da \( L(G^{\prime}) = L(G) \cup \{\lambda\} \) gelten soll, fügen wir \( G \) lediglich eine Produktionsregel hinzu, ohne bestehende Regeln zu entfernen oder zu ändern:

- \( G^{\prime} = (\Sigma, N, S, P \cup \{S \rightarrow \lambda\}) \)

Mit dieser Erweiterung der Produktionsregeln um \( S \rightarrow \lambda \) ist \( \lambda \) in der durch \( G^{\prime} \) beschriebenen Sprache enthalten, wobei sonst alle Wörter von \( L(G) \) erhalten bleiben.

c) Formale Definition von \( L(G) \)

Die gegebene Grammatik \( G \) erzeugt eine Sprache \( L(G) \), die aus Wörtern besteht, die mit "a" beginnen und enden und eine gleiche Anzahl an "b"s und "c"s zwischen den "a"s enthalten, wobei die "b"s vor den "c"s stehen. Die Umsortierung von "c" und "b" mittels \( CB \rightarrow BC \) sowie die Umwandlungen \( C \rightarrow ca \mid cc \) und \( B \rightarrow bc \mid bb \) ermöglichen es, jede beliebige Anzahl von "b"s gefolgt von derselben Anzahl von "c"s innerhalb der "a"-Rahmen zu platzieren.

Formal kann man \( L(G) \) so beschreiben:
- \( L(G) = \{a^n b^m c^m a^n \mid n \geq 1, m \geq 0\} \)

Dies bedeutet, dass das Wort mit mindestens einem "a" an jedem Ende beginnen und enden muss und eine beliebige, aber gleiche Anzahl (inklusive Null) von "b"s und "c"s in der Mitte enthalten sein kann.

d) Äquivalenz von \( G \) und \( G^{\prime \prime} \)

Um zu bestimmen, ob \( G \) und \( G^{\prime \prime} \) äquivalent sind, betrachten wir die Arten von Wörtern, die von beiden Grammatiken erzeugt werden können. Die ursprüngliche Grammatik \( G \) ermöglicht eine bestimmte Umorganisation der "c"s und "b"s sowie die Umwandlung dieser Zeichen unter bestimmten Bedingungen, die darauf hinweisen, dass "b"s vor "c"s produziert werden können, die beide von "a" eingerahmt werden.

\( G^{\prime \prime} \) bietet eine klarere Struktur für die Erzeugung von "b"s gefolgt von "c"s, eingegrenzt von "a"s, durch separate Regeln für "B" und "C" ohne explizite Umstrukturierungsregel \( CB \rightarrow BC \). \( G^{\prime \prime} \) vereinfacht auch die Produktion von "b"s und "c"s und scheint eine direktere Methode zur Erstellung korrespondierender Wortstrukturen zu bieten.

Ohne eine detaillierte Analyse jeder möglichen Ableitung in \( G^{\prime \prime} \) und einem vollständigen Vergleich zu \( G \) ist eine definitive Aussage über die absolute Äquivalenz schwierig. Allerdings deutet die Struktur der Regeln in \( G^{\prime \prime} \) darauf hin, dass sie darauf ausgerichtet ist, eine ähnliche Sprache wie \( G \) zu generieren: Wörter, die mit "a" beginnen und enden und eine abgestimmte Anzahl von "b"s und "c"s dazwischen enthalten. Es fehlt jedoch die explizite Umsetzung der \( CB \rightarrow BC \)-Regel, was darauf hinweist, dass während \( G \) und \( G^{\prime \prime} \) ähnliche Sprachen generieren könnten, ohne eine genaue Definition von \( P^{\prime \prime} \) und eine detaillierte Pfadanalyse können wir keine absolute Äquivalenz bestätigen.
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