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Aufgabe Rechnerarchitektur:

(a) Was ist ein Code? Was ist die Hamming-Distanz eines Codes?

(b) Welche Hamming-Distanz hat der Code \( \{100,101,000,101\} ? \) Geben Sie Ihren Lösungsweg an.

(c) Geben Sie den (5,2)-Hamming-Code als Menge an. Ein Lösungsweg ist nicht erforderlich.

(d) Beweisen Sie: Der (5,2)-Hamming-Code hat die Hamming-Distanz 3. Achten Sie auf einen nachvollziehbaren Lösungsweg.

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Was ist ein Code? Was ist die Hamming-Distanz eines Codes?

Ein Code in der Rechnerarchitektur und Informationstheorie bezieht sich gewöhnlich auf eine systematische Methode zur Umwandlung von Daten in eine verschlüsselte Form, die eine Übertragung oder Speicherung effektiver macht. Häufig werden Codes verwendet, um Datensicherheit zu erhöhen, Fehler zu entdecken oder Fehler zu korrigieren, die während der Übertragung über einen unzuverlässigen Kanal auftreten können. Ein Code besteht typischerweise aus einer Menge von Codewörtern.

Die Hamming-Distanz zwischen zwei Codewörtern ist die Anzahl der Positionen, an denen die beiden Codewörter unterschiedliche Werte aufweisen. Die Hamming-Distanz eines ganzen Codes ist das Minimum der Hamming-Distanzen zwischen allen möglichen Paaren von Codewörtern innerhalb des Codes. Sie ist ein Maß für die Fehlererkennungs- und Fehlerkorrekturfähigkeit des Codes. Je größer die Hamming-Distanz, desto besser kann der Code Fehler erkennen und korrigieren.

Welche Hamming-Distanz hat der Code \( \{100,101,000,101\} \)?

Um die Hamming-Distanz des Codes \( \{100,101,000,101\} \) zu bestimmen, vergleichen wir alle Codewörter paarweise und ermitteln die minimale Anzahl an Positionen, an denen sich die Codewörter unterscheiden.

1. Paar \(100\) und \(101\): Distanz = 1
2. Paar \(100\) und \(000\): Distanz = 1
3. Paar \(100\) und \(101\): Distanz = 1 (wobei hier \(101\) doppelt aufgeführt wird, was in einem realen Code vermieden würde)
4. Paar \(101\) und \(000\): Distanz = 2
5. Paar \(101\) und \(101\): Distanz = 0 (identische Codewörter)
6. Paar \(000\) und \(101\): Distanz = 2

Die minimal gefundene Hamming-Distanz zwischen zwei unterschiedlichen Codewörtern (nicht identisch) ist 1.

Der Code hat daher eine Hamming-Distanz von 1.

Geben Sie den (5,2)-Hamming-Code als Menge an.

Ein (5,2)-Hamming-Code ist ein Code, der zwei Datenbits in fünf Bit lange Codewörter codiert, um Fehlererkennung und -korrektur zu ermöglichen. Der (5,2)-Hamming-Code kann wie folgt aussehen:

\( \{ 00000, 01101, 10010, 11111, 01011, 00110, 11001, 10100 \} \)

(Hinweis: In dieser Darstellung wurden die Codewörter durch eine systematische Konstruktion erstellt, jedoch kann es mehr als eine Möglichkeit geben, einen (5,2)-Hamming-Code zu bilden.)

Beweisen Sie: Der (5,2)-Hamming-Code hat die Hamming-Distanz 3.

Um zu beweisen, dass der (5,2)-Hamming-Code eine Hamming-Distanz von 3 hat, betrachten wir alle Codewörter und berechnen die Distanzen zwischen jedem Paar. Ein vollständiger Beweis würde erfordern, alle möglichen Kombinationen von Paaren in der obigen Liste zu vergleichen. Wir vereinfachen hier, um das Konzept zu erklären:

- Jedes Codewort ist so konstruiert, dass es sich von jedem anderen Codewort in mindestens drei Bitpositionen unterscheidet.
- Beispielsweise unterscheidet sich \(00000\) von \(01101\) in vier Positionen, \(00000\) von \(10010\) in drei Positionen usw.
- Es gibt keine zwei Codewörter, die sich in weniger als drei Positionen unterscheiden.

Dadurch, dass die minimale Hamming-Distanz zwischen alle Codewortpaaren mindestens drei ist, und es gibt keine zwei Codewörter mit einer geringeren Distanz, hat der gesamte Code eine Hamming-Distanz von 3.

Zusammenfassend, die Hamming-Distanz eines Codes ist ein wesentliches Maß für seine Fähigkeit, Fehler zu erkennen und zu korrigieren. Der hier besprochene (5,2)-Hamming-Code bietet durch seine Konstruktion mit einer Hamming-Distanz von 3 eine robuste Grundlage für Fehlerkorrekturverfahren.
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