0 Daumen
315 Aufrufe

Aufgabe:

Der Median von \( n \) Zahlen lässt sich in \( O(n) \) Zeit finden. Geben Sie für ein abgewandeltes Quicksort-Verfahren, das immer den Median als Pivot-Element benutzt, die Laufzeit als Rekurrenzgleichung an und lösen Sie diese unter Zuhilfenahme des Mastertheorems! Gehen Sie davon aus, dass lauter unterschiedliche Zahlen eingegeben werden.

Avatar von

Du brauchst überhaupt nicht am besten die Laufzeit berechnen. Es reicht wenn du auf irgendeinem mathematisch korrekten Weg die Laufzeit berechnest.

Aber wie soll das genau funktionieren? Wäre das hier ein Ansatz?

T(n) = 2T(n/2) + Theta(n)?

1 Antwort

0 Daumen

Antwort mit KI erzeugt

Laufzeit: Quicksort-Verfahren mit Pivot

Um die Laufzeit des abgewandelten Quicksort-Verfahrens zu bestimmen, das immer den Median als Pivot-Element benutzt, verwenden wir zuerst die Rekurrenzgleichung.

Rekurrenzgleichung:

Da der Median als Pivot verwendet wird, teilt dieser die Menge in zwei gleich große Hälften auf. Daher resultiert für jeden Durchlauf zur Berechnung der Position des Pivotelements und den zwei rekursiven Aufrufen des Algorithmus auf den beiden Hälften die Rekurrenzgleichung:

\( T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n) \)

Die \(O(n)\) Zeit steht für das Finden des Medians und das Teilen der Liste in zwei Hälften.

Lösung mit dem Mastertheorem:

Das Mastertheorem bietet eine Methode zur Lösung von Rekurrenzgleichungen der Form:

\( T(n) = aT\left(\frac{n}{b}\right) + f(n) \)

wobei,
- \(a \geq 1\) und \(b > 1\) Konstanten sind,
- \(f(n)\) eine Funktion ist,
- \(T(n)\) die Laufzeit des Algorithmus für ein Problem der Größe \(n\) ist.

Unsere Rekurrenzgleichung passt zu dieser Form mit \(a = 2\), \(b = 2\) und \(f(n) = O(n)\).

Das Mastertheorem teilt sich in drei Fälle:
1. Wenn \(f(n) = O(n^{c})\), wobei \(c < \log_b{a}\), dann ist \(T(n) = \Theta(n^{\log_b{a}})\).
2. Wenn \(f(n) = \Theta(n^{\log_b{a}}\log^{k}{n})\) für ein \(k \geq 0\), dann ist \(T(n) = \Theta(n^{\log_b{a}}\log^{k+1}{n})\).
3. Wenn \(f(n) = \Omega(n^{c})\), wobei \(c > \log_b{a}\) und bestimmte Regularitätsbedingungen erfüllt sind, dann ist \(T(n) = \Theta(f(n))\).

In unserem Fall ist \(c = 1\), da \(f(n) = O(n)\), und \(\log_b{a} = \log_2{2} = 1\). Das passt zum zweiten Fall des Mastertheorems mit \(k = 0\), weil \(f(n)\) ein linearer Term ist und damit gleich \(n^{\log_2{2}}\log^0{n} = n\).

Somit ergibt sich nach dem Mastertheorem:

\( T(n) = \Theta(n^{\log_2{2}}\log^{0+1}{n}) = \Theta(n \log n) \)

Schlussfolgerung:

Die Laufzeit des abgewandelten Quicksort-Verfahrens, das als Pivot-Element immer den Median verwendet, beträgt \(\Theta(n \log n)\). Dies ist eine signifikante Verbesserung gegenüber der durchschnittlichen Laufzeit des herkömmlichen Quicksort-Verfahrens, welche ebenfalls \(\Theta(n \log n)\) beträgt, jedoch mit einer schlechteren Worst-Case-Laufzeit von \(\Theta(n^2)\), wenn das Pivot-Element schlecht gewählt wird. Durch die Verwendung des Medians als Pivot wird der Worst-Case vermieden, und die Laufzeit ist konsistent \(\Theta(n \log n)\) unabhängig von der initialen Reihenfolge der Elemente.
Avatar von 4,6 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Stacklounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community