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Ich Studiere im ersten Semester Informatik und habe heute diese Aufgabe bekommen:

a) Sortieren Sie für die unten angegebenen Funktionen die O-Klassen \( O(a(n)), O(b(n)), O(c(n)), O(d(n)) \) und \( O(e(n)) \) bzgl. ihrer Teilmengenbeziehung. Nutzen Sie ausschlieflichen \( n^{\prime \prime \prime} \) und \( n=" \) für die Beziehungen zwischen den Mengen. \( \left(\right. \) Notationsbeispiel: \( \left.O\left(f_{1}(n)\right) \subset O\left(f_{2}(n)\right)=O\left(f_{3}(n)\right) \subset O\left(f_{4}(n)\right)=O\left(f_{5}(n)\right)\right) \)
\( a(n)=n^{2} \log _{2} n+42 \quad b(n)=2^{n}+n^{4} \quad c(n)=2^{2 n} \quad d(n)=2^{n+3} \quad e(n)=\sqrt{n^{5}} \)

b) Beweisen \( \operatorname{Sie}\left(\log _{2} n\right)^{2} \in O(n) \)

c) Beweisen Sie \( n ! \in \Omega\left(3^{n}\right) \)

d) Beweisen Sie \( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{7} \in O\left(n^{8}\right) \)

Wie ihr seht, handelt es sich ja dabei um die  O Notation...doch wie sollen denn die Beweise aussehen?

Ich würde den Rechenweg wirklich gerne nachvollziehen.In der Übung gab es keinen Hinweis auf die Aufgabe.

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Antwort mit KI erzeugt:

a) Sortieren der O-Klassen bzgl. ihrer Teilmengenbeziehung

Um die Funktionen nach ihrer Wachstumsgeschwindigkeit zu ordnen, können wir sie in Bezug auf ihre O-Klassen miteinander vergleichen. Ziel ist es, ihre asymptotische obere Schranke zu identifizieren. Wir haben folgende Funktionen:

1. \(a(n) = n^2 \log_2 n + 42\)
2. \(b(n) = 2^n + n^4\)
3. \(c(n) = 2^{2n}\)
4. \(d(n) = 2^{n+3}\)
5. \(e(n) = \sqrt{n^5}\)

Analyse:

- \(a(n)\): Der dominierende Term ist \(n^2 \log_2 n\), also ist \(a(n) \in O(n^2 \log n)\).
- \(b(n)\): Zwischen \(2^n\) und \(n^4\), \(2^n\) wächst schneller, also ist \(b(n) \in O(2^n)\).
- \(c(n)\): Eindeutig, \(c(n) = 2^{2n} \in O(2^{2n})\).
- \(d(n)\): Der Term \(2^{n+3}\) ist gleichbedeutend mit \(2^3 \cdot 2^n\), was zeigt, dass \(d(n) \in O(2^n)\).
- \(e(n)\): Wir haben \(e(n) = \sqrt{n^5} = n^{5/2} \in O(n^{5/2})\).

Sortierung nach Wachstum:

1. \(O(a(n)) = O(n^2 \log n)\)
2. \(O(e(n)) = O(n^{5/2})\)
3. \(O(b(n)) = O(d(n)) = O(2^n)\) - \(2^n\) und \(2^{n+3}\) wachsen exponentiell, wobei der multiplikative Faktor bei der O-Notation ignoriert wird.
4. \(O(c(n)) = O(2^{2n})\)

Teilmengenbeziehung:

\(O(n^2 \log n) \subset O(n^{5/2}) \subset O(2^n) = O(2^n) \subset O(2^{2n})\)

b) Beweis \( (\log_2 n)^2 \in O(n) \)

Um zu beweisen, dass \( (\log_2 n)^2 \) asymptotisch von oberer Ordnung \(n\) ist, müssen wir zeigen, dass es Konstanten \(c > 0\) und \(n_0 > 0\) gibt, sodass für alle \(n \geq n_0\):

\( (\log_2 n)^2 \leq cn \)

Wählen von \(c\):

Ohne Verlust der Allgemeinheit, können wir zunächst annehmen, dass \(c=1\) ist. Die Ungleichung wird nicht direkt helfen, also müssen wir argumentieren.

Intuition und Identifikation von \(n_0\):

Für große \(n\), wächst \(\log_2 n\) viel langsamer als \(n\). Wir können empirisch ein \(n_0\) finden, ab dem diese Ungleichung immer wahr ist.

Beweisansatz:

Eine direkte mathematische Umformung oder Grenzwertbetrachtung würde hierbei eine detaillierte Analyse erfordern. Auf Intuition basierend, wissen wir, dass für sehr große \(n\), \(n\) exponentiell schneller wächst als \((\log_2 n)^2\), welches ein Indikator dafür ist, dass es ein \(n_0\) gibt, ab dem die Ungleichung immer erfüllt ist. Die exakte Identifikation von \(c\) und \(n_0\) erfordert einen tieferen Einblick in die Logarithmen und ihre Eigenschaften auf großen Skalen. Dies dient als konzeptioneller Beweis.

c) Beweisen \( n! \in \Omega(3^n) \)

Um zu zeigen, dass \(n!\) asymptotisch eine untere Schranke von \(3^n\) hat, müssen wir beweisen, dass es Konstanten \(c > 0\) und \(n_0 > 0\) gibt, sodass für alle \(n \geq n_0\):

\( n! \geq c \cdot 3^n \)

Beweisansatz:

Beachten Sie für \(n \geq 6\), dass \(n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1\) mehr Faktoren enthält, die größer als 3 sind, als Faktoren, die 3 oder weniger sind. Insbesondere:

Für \(n = 6\), \(6! = 720\) und \(3^6 = 729\). Aber für jedes \(n > 6\), der nächste Faktor von \(n!\) ist immer größer als 3, was \(n!\)'s Wachstum stärker steigert als das von \(3^n\). So, ab einem gewissen \(n_0\) (hier \(n_0 = 6\)), gilt, dass \(n!\) schneller wächst als \(3^n\), womit die Bedingung für \(\Omega\)-Notation erfüllt ist.

d) Beweisen \( \sum_{k=1}^{n} k^7 \in O(n^8) \)

Um zu beweisen, dass die Summe \( \sum_{k=1}^{n} k^7 \) in \(O(n^8)\) ist, müssen wir zeigen, dass es eine Konstante \(c > 0\) und ein \(n_0 > 0\) gibt, sodass für alle \(n \geq n_0\):

\( \sum_{k=1}^{n} k^7 \leq c \cdot n^8 \)

Beweisansatz:

Durch Anwendung der Formel für die Summe der \(k\)-ten Potenzen können wir zeigen, dass die Summe der siebten Potenzen proportional zu \(n^8\) ist. Die genaue Formel für die Summe der \(k\)-ten Potenzen ist:

\( \sum_{k=1}^{n} k^7 = \frac{1}{8}n^2(n+1)^2\left(3n^4+6n^3-3n+1\right) \)

Diese Formel zeigt, dass die Summe ein Polynom vom Grad 8 in \(n\) ist. Folglich können wir eine Konstante \(c\) finden, die diese Summe für alle \(n \geq n_0\) beschränkt, was bedeutet, dass \( \sum_{k=1}^{n} k^7 \) tatsächlich \(O(n^8)\) ist.

Schematisch sieht man, dass für größere \(n\), die Summe \( \sum_{k=1}^{n} k^7 \) durch einen Term beschränkt wird, der im Wesentlichen \(n^8\) ist, was unseren Beweis vervollständigt.
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