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Aufgabe:

Zeigen mithilfe des kleinen Satzes von Fermat, dass beim Verschlüsselungsverfahren von Elgamal der Schlüssel zum Entschlüsseln gleich k(-1) = β(p−1−a) (mod p) ist.

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Verschlüsselungsverfahren von Elgamal und kleiner Satz von Fermat

Um zu zeigen, dass beim Verschlüsselungsverfahren von Elgamal der Schlüssel zum Entschlüsseln gleich \(k^{-1} = \beta^{(p-1-a)} \mod p\) ist, beginnen wir mit einer kurzen Wiederholung des Elgamal-Verschlüsselungsverfahrens und des kleinen Satzes von Fermat.

Elgamal-Verschlüsselungsverfahren:

1. Schlüsselerzeugung:
- Wähle eine große Primzahl \(p\) und eine primitive Wurzel \(\alpha\) von \(p\).
- Wähle ein \(a < p-1\), das als privater Schlüssel dient.
- Berechne \(\beta = \alpha^a \mod p\). \(\beta\) ist der öffentliche Schlüssel zusammen mit \(\alpha\) und \(p\).

2. Verschlüsselung:
- Um eine Nachricht \(m\) zu verschlüsseln, wählt der Absender ein zufälliges \(k\).
- Berechne den gemeinsamen Schlüssel \(s = \beta^k \mod p\).
- Die verschlüsselte Nachricht besteht aus zwei Teilen, \((\gamma, \delta)\), wobei \(\gamma = \alpha^k \mod p\) und \(\delta = m \cdot s \mod p\).

3. Entschlüsselung:
- Um die Nachricht zu entschlüsseln, berechnet der Empfänger den gemeinsamen Schlüssel mit \(s = \gamma^a \mod p\).
- Die ursprüngliche Nachricht wird durch \(\delta \cdot s^{-1} \mod p\) wiederhergestellt.

Kleiner Satz von Fermat:

Der kleine Satz von Fermat besagt, dass für jede Primzahl \(p\) und jede ganze Zahl \(a\), die kein Vielfaches von \(p\) ist, gilt: \(a^{p-1} \equiv 1 \mod p\).

Beweis, dass \(k^{-1} = \beta^{(p-1-a)} \mod p\):

Um die Nachricht zu entschlüsseln, benötigen wir den inversen Schlüssel \(s^{-1}\), der das Entschlüsseln von \(\delta\) ermöglicht. Aus der Entschlüsselung wissen wir, dass \(s = \gamma^a \mod p\). Da \(\gamma = \alpha^k\), können wir schreiben:

\( s = (\alpha^k)^a \mod p = \alpha^{ka} \mod p \)

Auf der anderen Seite haben wir \(s = \beta^k \mod p\), und da \(\beta = \alpha^a\), folgt:

\( s = (\alpha^a)^k \mod p = \alpha^{ak} \mod p \)

Um \(s^{-1}\) zu finden, nutzen wir den kleinen Satz von Fermat. Nach diesem Satz gilt:

\( \alpha^{p-1} \equiv 1 \mod p \)

Dadurch können wir schlussfolgern, dass:

\( s \cdot s^{-1} = \alpha^{ak} \cdot \alpha^{x} \equiv 1 \mod p \)

Dabei bedeutet \(x\), die Exponent, der mit \(ak\) multipliziert \(p-1\) ergibt, oder anders gesagt, \(ak+x \equiv 0 \mod (p-1)\).

Da \(\alpha^{p-1} \equiv 1\), müsste \(x = (p-1-ak)\) sein, um \(s \cdot s^{-1} \equiv 1 \mod p\) wahr zu machen.

Da jedoch \(s = \alpha^{ak}\), und wir suchen \(s^{-1}\), das äquivalent zu \(\alpha^{p-1-ak}\) ist, können wir analog für \(\beta\) schreiben, dass:

\( k^{-1} \equiv \beta^{p-1-a} \mod p \)

Dies basiert auf der Tatsache, dass \(\beta = \alpha^a\), und der Schlüssel zum Entschlüsseln bzw. der inverse Schlüssel \(k^{-1}\) wird durch die Potenzierung des öffentlichen Schlüssels \(\beta\) mit \(p-1-a\) erreicht, was die notwendige Bedingung erfüllt, um den inversen zu \(s\) zu erhalten und somit die Verschlüsselung rückgängig zu machen.
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