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Aufgabe:

Entwerfen Sie einen Algorithmus in Pseudocode, der Laufzeit Θ(n log^2(n)) hat.

Die Funktionsweise des Algorithmus ist egal, beschreiben Sie aber im Anschluss, was Ihr Algorithmus macht.

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Antwort mit KI erzeugt

Lösungsidee

Ein Algorithmus mit einer Laufzeit von Θ(\(n \log^2(n)\)) kann durch einen Algorithmus realisiert werden, der eine Kombination aus einer iterativen und einer rekursiven Schleife nutzt. Dies erreichen wir, indem wir zuerst eine Schleife haben, die \(\log(n)\) mal durchläuft, und in jeder Iteration dieser Schleife führen wir eine andere Operation durch, die ebenfalls \(\log(n)\) Komplexität hat.

Ein gutes Beispiel dafür ist ein modifizierter Merge-Sort-Algorithmus, bei dem wir nach jedem Merge-Vorgang zusätzliche Schleifen (z.B. zur Berechnung von etwas oder zur Durchführung von Operationen, die log(n) Zeit in Anspruch nehmen) einfügen.

Pseudocode

plaintext
Algorithmus ModifiziertesMergeSort(A, p, r)
    Wenn p < r dann
        q = (p+r)/2
        ModifiziertesMergeSort(A, p, q)
        ModifiziertesMergeSort(A, q+1, r)
        Merge(A, p, q, r)
        ZusätzlicheOperationMitLogKomplexität(A, p, r)

ZusätzlicheOperationMitLogKomplexität(A, p, r)
    Für i = 1 bis log(r-p+1)
        Für j = p bis r
            // Führe Operationen durch, die konstante Zeit in Anspruch nehmen
        Ende Für
    Ende Für

Merge(A, p, q, r)
    // Dieser Teil führt die normale Merge-Operation durch
    n1 = q - p + 1
    n2 = r - q
    L[1..n1+1], R[1..n2+1]

    Für i = 1 bis n1
        L[i] = A[p + i - 1]
    Ende Für

    Für j = 1 bis n2
        R[j] = A[q + j]
    Ende Für

    L[n1 + 1] = Unendlich
    R[n2 + 1] = Unendlich

    i = 1
    j = 1

    Für k = p bis r
        Wenn L[i] <= R[j] dann
            A[k] = L[i]
            i = i + 1
        Sonst
            A[k] = R[j]
            j = j + 1
        Ende Wenn
    Ende Für


Was macht der Algorithmus?

Der modifizierte Merge-Sort-Algorithmus sortiert ein Array, genau wie der klassische Merge-Sort-Algorithmus. Allerdings fügt der zusätzliche Schritt (ZusätzlicheOperationMitLogKomplexität) nach jedem Merge-Vorgang eine Schleife hinzu, die abhängig von der Länge des Teilabschnitts des Arrays (\(r-p+1\)) eine Menge von Operationen durchführt, die jeweils logarithmische Zeit in Bezug auf die Größe dieses Teilabschnitts benötigen. Dadurch erhöht sich die Gesamtkomplexität des Algorithmus auf \(Θ(n \log^2(n))\), weil neben der sortierenden Logik des Merge-Sorts noch eine zusätzliche log-quadratische Zeitkomponente hinzugefügt wird.
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