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Frage:

Betrachte einen binären Suchbaum T, in welchem kein Element doppelt vorhanden ist. Angenommen, die Suche nach einem Element mit Wert k in T endet in einem Blatt. Dieser Suchpfad von der Wurzel zum Blatt teilt die Elemente von T in die drei Mengen AL, Ap und AR, die links vom, auf dem, bzw. rechts vom Suchpfad liegen. Zeige oder widerlege: Für alle a1∈ AL, a2 ∈ Ap, a3 ∈ AR gilt a1 ≤ a2 ≤ a3.

(Hinweis: Achtung, ist beispielsweise AR leer (besitzt also keine Elemente), so gilt az < az.)

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"Für alle a1∈ AL, a2 ∈ Ap, a3 ∈ AR gilt a1 ≤ a2 ≤ a3."

Wie ist die Ordnungsrelation ≤ zu verstehen?

Soll ich übereetzen, wenn a1 links vom Suchpfad liegt, a2 auf dem Suchpfad und a3 rechts vom Suchpfad, so ist a1 nicht rechts a2 und a2 nicht rechts von a3?

Kannst du das ev. zeichnen?

Ich glaube nicht! Kannst du es bitte zeigen? Werde sehr dankbar

Es ist für andere schwierig in Deinem Skript nachzuschauen. Die Schreibweise müssten, (wenn irgendwo, dann) dort festgelegt sein. In Wikipedia könntest du doch auch selbst suchen. Oder?

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Antwort mit KI erzeugt

Binärer Suchbaum T: Zeige oder widerlege: Für alle \(a_1 \in AL\), \(a_2 \in Ap\), \(a_3 \in AR\) gilt \(a_1 \leq a_2 \leq a_3\).

Um diese Eigenschaft zu zeigen, betrachten wir zunächst, was ein binärer Suchbaum (BST) ist und wie die Suchoperation in einem BST funktioniert.

Ein binärer Suchbaum ist ein Baum, in dem jeder Knoten einen Wert hat, der größer als alle Werte im linken Unterbaum und kleiner als alle Werte im rechten Unterbaum ist. Das bedeutet, dass alle Elemente in einem linken Unterbaum eines Knotens \(x\) kleiner sind als \(x\) und alle Elemente in einem rechten Unterbaum größer als \(x\).

Wenn wir in einem BST nach einem Wert \(k\) suchen und diese Suche in einem Blatt endet (d.h., \(k\) ist nicht im Baum vorhanden), dann haben wir unterwegs Entscheidungen getroffen: An jedem Knoten haben wir entschieden, ob wir nach links oder rechts gehen, abhängig davon, ob \(k\) kleiner oder größer als der Wert des aktuellen Knotens ist. Auf diese Weise haben wir tatsächlich den Baum in drei Teile geteilt:

- AL (links vom Pfad): Diese Menge beinhaltet alle Elemente, die während der Suche im linken Teil des Pfades waren. Diese Elemente sind kleiner als die Knoten, durch die der Suchpfad geführt hat, da in einem binären Suchbaum alle Werte links von einem Knoten kleiner als der Knotenwert sind.
- Ap (auf dem Pfad): Diese Menge beinhaltet die Elemente, über die während der Suche passiert wurde. Sie entsprechen den Entscheidungspunkten – also den Knoten, für die geprüft wurde, ob \(k\) kleiner oder größer ist.
- AR (rechts vom Pfad): Diese Menge beinhaltet alle Elemente, die während der Suche im rechten Teil des Pfades waren. Diese Elemente sind größer als die Knoten, durch die der Suchpfad geführt hat, da in einem binären Suchbaum alle Werte rechts von einem Knoten größer als der Knotenwert sind.

Betrachten wir nun die Behauptung: Für alle \(a_1 \in AL\), \(a_2 \in Ap\), \(a_3 \in AR\) gilt \(a_1 \leq a_2 \leq a_3\). Diese folgt direkt aus der Definition eines binären Suchbaums und der Beschreibung der drei Mengen AL, Ap und AR:

- \(a_1 \leq a_2\): Da \(a_1\) in AL liegt und somit links vom Suchpfad war, ist jedes \(a_1\) kleiner oder gleich den Knotenwerten (den Elementen in Ap), durch die der Pfad geführt hat.
- \(a_2 \leq a_3\): Da \(a_3\) in AR liegt und somit rechts vom Suchpfad war, ist jedes \(a_3\) größer oder gleich den Knotenwerten (den Elementen in Ap), durch die der Pfad geführt hat.

Somit ist die Behauptung wahr: Für alle \(a_1 \in AL\), \(a_2 \in Ap\), \(a_3 \in AR\) gilt \(a_1 \leq a_2 \leq a_3\), basierend auf den Eigenschaften des binären Suchbaums und der Natur der Suche in einem solchen Baum.
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