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Algorithmus von Dijkstra

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Betrachten Sie den Graphen G = (V, E) aus der Abbildung. Für alle e ∈ E soll für die Kantengewichte ce ∈ R gelten.

Fügen Sie mindestens eine Kante hinzu, sodass der Algorithmus von Dijkstra nicht den kürzesten Weg von a nach d ausgibt. Führen Sie den Algorithmus von Dijkstra mit Startknoten a auf dem veränderten Graphen aus. Es reicht, wenn Sie nur den fertigen Graphen angeben.

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Fügen Sie eine Kante hinzu, sodass der Algorithmus von Dijkstra nicht den kürzesten Weg von a nach d ausgibt.

Um zu demonstrieren, wie eine zusätzliche Kante den Algorithmus von Dijkstra daran hindert, den kürzesten Weg von Knoten a zu Knoten d zu finden, müssen wir uns zunächst vergegenwärtigen, wie der Algorithmus von Dijkstra funktioniert. Der Algorithmus von Dijkstra sucht den kürzesten Weg in einem Graphen mit nicht-negativen Kantengewichten von einem Startknoten zu allen anderen Knoten. Eine wichtige Einschränkung des Algorithmus besteht darin, dass er nicht korrekt funktioniert, wenn negative Kantengewichte im Graphen vorhanden sind. Diese Einschränkung kann ausgenutzt werden, um eine Situation zu schaffen, in der der Algorithmus von Dijkstra versagt.

Da in der Aufgabenstellung jedoch ausdrücklich erwähnt wird, dass die Kantengewichte \(c_e \in \mathbb{R}\) gelten sollen, also auch negative Werte theoretisch erlaubt sind, könnten wir den ursprünglichen Graphen so verändern, dass eine neue Kante mit einem negativen Gewicht hinzu kommt. In einem Graphen ohne negative Gewichte, würde jedoch die Hinzufügung einer positiv gewichteten Kante nicht dazu führen, dass Dijkstra nicht den kürzesten Weg findet, es sei denn, der neue Pfad wäre länger als ein existierender Pfad, was jedoch nicht dem Ziel wäre, den Algorithmus scheitern zu lassen.

Vorausgesetzt, dass negative Gewichte erlaubt sind, kann man eine Kante zum Beispiel direkt von Knoten a zu Knoten d hinzufügen mit einem negativen Gewicht.

Angenommen, alle existierenden Kantengewichte sind positiv, und der kürzeste Pfad von a nach d in dem ursprünglichen Graphen verläuft über mehrere Knoten mit einem Gesamtgewicht von z.B. 10. Wenn wir nun eine Kante von a direkt nach d mit einem Gewicht von -5 hinzufügen, wird der direkte Pfad von a nach d durch diese Kante mit einem negativen Gewicht den kürzesten Pfad darstellen. Der Algorithmus von Dijkstra würde diesen Pfad jedoch nicht korrekt ermitteln können, da er nicht für Graphen mit negativen Kanten konzipiert ist.

Veränderter Graph:
Um den ursprünglichen Graphen entsprechend zu modifizieren:

1. Fügen Sie eine Kante von a nach d hinzu.
2. Weisen Sie dieser Kante ein negatives Gewicht zu, z.B. \(c_{a,d} = -5\).

Dies wäre ein Szenario, in dem der Algorithmus von Dijkstra nicht den kürzesten Pfad von a nach d finden würde, da er nicht in der Lage ist, mit negativen Gewichten korrekt umzugehen. Trotz dieser Änderung ist zu beachten, dass dieser Ansatz die ursprüngliche Bedingung von \(c_e \in \mathbb{R}\)- also dass alle Kantengewichte reelle Zahlen sein sollen - erfüllt, sich aber in der Praxis von der Anwendung des Algorithmus von Dijkstra für Graphen ohne negative Kantengewichte abgrenzt.
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