0 Daumen
163 Aufrufe

Aufgabe:

Sei M = {a}+ · {b}. Konstruieren Sie einen vollständigen DFA A mit L(A) = M und Eingabealphabet Σ = {a, b} und beweisen Sie, dass dies tatsächlich gilt.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Antwort mit KI erzeugt

Konstruktion des DFA

Um einen deterministischen endlichen Automaten (DFA) \( A \) zu konstruieren, dessen Sprache \( L(A) = M \) entspricht und der das Eingabealphabet \( \Sigma = \{a, b\} \) hat, gehen wir folgendermaßen vor:

Schritt 1: Spezifikation der Sprache \( M \)

Die Sprache \( M \) ist definiert als:
\( M = \{a\}^+ \cdot \{b\} \)
Das bedeutet, \( M \) besteht aus allen Zeichenketten, die eine beliebige Anzahl von 'a' (mindestens eins) gefolgt von genau einem 'b' enthalten.

Schritt 2: Konstruktion des DFAs

Ein DFA besteht aus:
- Einer endlichen Menge \( Q \) von Zuständen
- Einem Eingabealphabet \( \Sigma \)
- Einer Übergangsfunktion \( \delta: Q \times \Sigma \rightarrow Q \)
- Einem Anfangszustand \( q_0 \in Q \)
- Einer Menge \( F \subseteq Q \) von Endzuständen

Wir konstruieren den DFA \( A \) wie folgt:

Menge der Zustände: \( Q = \{q_0, q_1, q_a, q_b\} \)

Eingabealphabet: \( \Sigma = \{a, b\} \)

Übergangsfunktion \(\delta\):
- \(\delta(q_0, a) = q_a\)
- \(\delta(q_0, b) = q_1\)
- \(\delta(q_a, a) = q_a\)
- \(\delta(q_a, b) = q_b\)
- \(\delta(q_b, a) = q_1\)
- \(\delta(q_b, b) = q_1\)
- \(\delta(q_1, a) = q_1\)
- \(\delta(q_1, b) = q_1\)

Anfangszustand: \( q_0 \)

Endzustände: \( F = \{q_b\} \)

Erklärung des Automaten:
- \( q_0 \) ist der Startzustand.
- Der Zustand \( q_a \) wird erreicht, wenn mindestens ein 'a' gelesen wurde.
- Der Zustand \( q_b \) wird erreicht, wenn nach einer Folge von mindestens einem 'a' genau ein 'b' gelesen wurde, was bedeutet, dass die Eingabe akzeptiert wird.
- Der Zustand \( q_1 \) ist ein Müllzustand, der jede Eingabe ablehnt, die die Anforderungen von \( M \) nicht erfüllt.

Übergangstabelle:

\( \begin{array}{c|c|c} \delta & a & b \\ \hline q_0 & q_a & q_1 \\ q_a & q_a & q_b \\ q_b & q_1 & q_1 \\ q_1 & q_1 & q_1 \\ \end{array} \)

Beweis, dass der DFA \( A \) genau die Sprache \( M \) akzeptiert:

1. Alle gültigen Wörter müssen akzeptiert werden:
- Ein Wort in \( M \) hat die Form \( a^+b \).
- Wenn wir mindestens ein 'a' sehen, wechseln wir in den Zustand \( q_a \).
- Sobald wir ein 'b' nach einer Folge von 'a' sehen, wechseln wir in den Endzustand \( q_b \).
- Daher akzeptiert der Automat genau solche Wörter.

2. Alle ungültigen Wörter werden verworfen:
- Beginnt ein Wort mit 'b' oder enthält es mehr als ein 'b', wird der Automat in den Müllzustand \( q_1 \) überführt und akzeptiert das Wort nicht.

Somit akzeptiert unser konstruierter DFA \( A \) genau die Sprache \( M \).
Avatar von 4,6 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Stacklounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community