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Aufgabe:

Sei für eine natürliche Zahl n mit [n] die Zeichenkette über dem Eingabeal- phabet Σ = {0, 1, 2, . . . , 9} bezeichnet, die n in Dezimaldarstellung darstellt. (Zum Beispiel ist [1021] = 1021, aber die 1021 links (vom Gleichheitszeichen) ist eine natürliche Zahl, während die 1021 rechts (vom Gleichheitszeichen) eine Zeichenkette bestehend aus den vier Symbolen 1, 0, 2 und 1 ist.)

Konstruieren Sie für M = {[n] ∈ Σ∗ | n ∈ N und n ≥ 500} einen DFA A mit L(A) = M und beweisen Sie, dass dies tatsächlich gilt.

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Antwort mit KI erzeugt

Um einen deterministischen endlichen Automaten (DFA) zu konstruieren, der die Sprache \( M = \{[n] \in \Sigma^* \mid n \in \mathbb{N} \text{ und } n \geq 500\} \) erkennt, gehen wir wie folgt vor:

1. Definition des Alphabets und Zustände

- Alphabet (\(\Sigma\)): \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)
- Zustände:
- \(q_0\): Startzustand
- \(q_f\): Akzeptierender Zustand
- Zustände \(q_{5xx}\) für verschiedene Kombinationen von 'x', um \(500 \leq n \leq 599\) zu erkennen.
- Zustände \(q_{6}, q_{7}, q_{8}, q_{9}\) um \(n \geq 600\) zu akzeptieren.

2. Zustandsübergangsdiagramm

1. Start in \(q_0\).
2. Falls das erste Zeichen:
- ist '5', gehe zu \(q_5\).
- ist '6' bis '9', gehe zu \(q_f\).
- ist '0' bis '4', weise ab (bleibe in einem nicht akzeptierenden Zustand, z.B. in \(q_0\)).
3. Falls wir in Zustand \(q_5\) sind, hänge die nächsten zwei Ziffern an:
- Wenn zweite Ziffer '0', gehe zu \(q_{50}\).
- Wenn zweite Ziffer '1' bis '9', weise ab oder akzeptiere später.
4. In \(q_{50}\), wenn dritte Ziffer '0', gehe zu \(q_{500}\). Jede weitere Ziffer akzeptiert.

3. Formelle Definition des DFA

Der DFA \(A\) lässt sich formal definieren durch
\( A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F) \)
wobei:
- \(Q = \{q_0, q_5, q_5x, q_{50x}, q_f\}\), mit \(x\) von 0 bis 9.
- \(\Sigma = \{0, 1, 2, ..., 9\}\)
- \(\delta: Q \times \Sigma \rightarrow Q\) ist die Übergangsfunktion
- \(q_0\) ist der Startzustand
- \(F = \{q_9, q_{600}, q_{600x}, q_{500x}, q_f\}\) ist die Menge der akzeptierenden Zustände.

4. Übergangsfunktion (\(\delta\))

\( \begin{array}{c|c|c} \text{Zustand} & \text{Eingabe} & \text{Neuer Zustand} \\ \hline q_0 & 5 & q_5 \\ q_0 & 6-9 & q_f \\ q_0 & 0-4 & q_0 \\ q_5 & 0 & q_{50} \\ q_5 & 1-9 & q_5x \\ q_{50} & 0 & q_{500} \\ q_{50} & 1-9 & q_{500x} \\ q_{500} & 0-9 & q_f \\ q_{500x} & 0-9 & q_f \\ q_5x & 0-9 & q_f \\ q_f & 0-9 & q_f \\ \end{array} \)

5. Beweis der Korrektheit

Akzeptanz einer Zahl \(n \geq 500\):
- Jede Zahl \(n\) mit \(n \geq 600\) wird direkt akzeptiert, weil diese Zahlen bereits im ersten Schritt in den akzeptierenden Zustand \(q_f\) versetzen.
- Jede Zahl zwischen 500 und 599:
- Falls die erste Ziffer '5' ist, geht der Automat in den Zustand \(q_5\).
- Falls die nächste Ziffer '0' ist, gehen wir in Zustand \(q_{50}\), und falls die darauf die dritte Ziffer '0' ist, in den akzeptierenden Zustand \(q_{500}\).

Ablehnung einer Zahl \(n < 500\):
- Jede Zahl, die mit einer Ziffer kleiner als '5' beginnt, wird nicht in ein akzeptierenden Zustand überführt.
- Falls die Anzahl der Ziffern zu gering ist, bleibt der Automat im nicht akzeptierenden Zustand.

Fazit

Dieser DFA erkennt alle Zeichenketten, die eine Zahl \(n \geq 500\) repräsentieren, und keine anderen.
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