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Frage:

Betrachten Sie die folgenden Sprachen, indem Sie jeweils folgendes ausführen: Geben Sie die Klassen der Myhill-Nerode Äquivalenzrelation an. Bestimmen Sie den Index von \( L_{i} \) und geben Sie für jedes Paar \( A, B \) von Äquivalenzklassen jeweils ein trennendes Wort \( x \in\{a, b\}^{*} \) an. Begründen Sie für jede Äquivalenzklasse, wieso es für die Wörter in ihr kein trennendes Wort gibt.

Zur Erinnerung: Ein Wort \( x \) ist ein trennendes Wort für zwei Äquivalenzklassen \( A \) und \( B \), wenn für \( v \in A \) und \( w \in B \) gilt: \( v x \) gehört zu der Sprache genau dann wenn \( w x \) nicht zu der Sprache gehört.
Ist \( L_{i} \) regulär? Falls ja, geben Sie den Myhill-Nerode DFA \( \mathcal{A}_{L_{i}} \) an.
a) \( L_{1}=\left\{w \in\{a, b\}^{*} \mid w\right. \) hat weder das Infix \( a a \) noch das Infix \( \left.b b .\right\} \)
b) \( L_{2}=\left\{w \in\{a, b, c\}^{*}|| w \mid \geq 2\right. \) und der zweitletzte Buchstabe von \( w \) ist ein \( \left.b .\right\} \)

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Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe a) \( L_{1}=\{w \in \{a, b\}^{*} \mid w \text{ hat weder das Infix } aa \text{ noch das Infix } bb\} \)

Myhill-Nerode Äquivalenzklassen:

Zur Bestimmung der Äquivalenzklassen betrachten wir die möglichen Suffixe eines Wortes in der Sprache \( L_1 \):

1. Die leere Klasse \(\epsilon\) (Akzeptierender Zustand, da sie per Definition kein Infix hat)
2. Wörter, die mit \(a\) enden und kein Infix \(aa\) oder \(bb\) haben.
3. Wörter, die mit \(b\) enden und kein Infix \(aa\) oder \(bb\) haben.

Wir können also die folgenden Äquivalenzklassen definieren:
- \([ \epsilon ]\) : Wörter, die leer sind (Akzeptierend)
- \([a]\) : Wörter, die mit \(a\) enden und kein \(aa\) oder \(bb\) enthalten
- \([b]\) : Wörter, die mit \(b\) enden und kein \(aa\) oder \(bb\) enthalten

Index bestimmen:
Der Index von \(L_1\) ist die Anzahl der Äquivalenzklassen. Hier haben wir 3 verschiedene Klassen, also ist der Index 3.

Trennende Wörter:
- \( [ \epsilon ] \) und \([a]\): Trennendes Wort ist \(a\).
- \( [ \epsilon ] \) und \([b]\): Trennendes Wort ist \(b\).
- \( [a]\) und \([b]\): Trennendes Wort ist \(a\) oder \(b\), da diese zu den Wörtern \(a\) und \(b\) angehängt werden und dann den Zustand wechseln.

Begründung:
Für jede Äquivalenzklasse:
- \([ \epsilon ]\): Kein Suffix hat \(aa\) oder \(bb\).
- \([a]\): Kein Suffix hat \(aa\) oder \(bb\).
- \([b]\): Kein Suffix hat \(aa\) oder \(bb\).

Regulär:

Ja, \(L_1\) ist regulär. Hier ist der DFA für \(L_1\):

python
import graphviz

dot = graphviz.Digraph()

dot.node('q0', 'q0', shape='doublecircle')
dot.node('q1', 'q1')
dot.node('q2', 'q2')
dot.node('q3', 'q3')

dot.edge('q0', 'q1', 'a')
dot.edge('q0', 'q2', 'b')
dot.edge('q1', 'q3', 'a')
dot.edge('q2', 'q3', 'b')
dot.edge('q1', 'q1', 'b')
dot.edge('q2', 'q2', 'a')

dot.render('dfa_L1', format='png')


Aufgabe b) \( L_{2}=\{w \in \{a, b, c\}^{*} \mid w \geq 2\text{ und der zweitletzte Buchstabe von } w \text{ ist ein } b \} \)

Myhill-Nerode Äquivalenzklassen:

Zur Bestimmung der Äquivalenzklassen betrachten wir die möglichen Suffixe eines Wortes in der Sprache \( L_2 \):

1. Wörter, die zu \( L_2 \) gehören.
2. Wörter, die nicht zu \( L_2 \) gehören aber danach das Muster noch erzeugen können.
3. Wörter, die zu lang sind und nicht reparabel sind (zuletzt ist kein b oder zu kurz).

Wir definieren vier Klassen:

- \([ \epsilon ]\): Leere Wörter (Nicht akzeptierend, da \( w \geq 2 \))
- \([S_b]\): Wörter mit zweitletztem Buchstaben \(b\) (Akzeptierend)
- \([S_{\neg b}]\): Wörter, die nicht akzeptierend werden und kein trennendes Highlight ermöglichen
- \([S_{\text{short}}]\): Wörter, die kürzer als 2 sind

Index bestimmen:
Hier haben wir mehr als die ersten 3 Klassen und der Index wird entsprechend angeschätzt. Hier meistens sind es 4.

Trennende Wörter:
- \( [ \epsilon ] \) und \([S_b]\): Trennendes Wort ist \(ab\).
- \( [ \epsilon ] \) und \([S_{\neg b}]\): Trennendes Wort ist \(ac\).
- \( [ \epsilon ] \) und \([S_{\text{short}}]\): Trennendes Wort ist \(c\) oder \(bcc\).
- \( [S_b]\) und \([S_{\neg b}]\): Trennendes Wort ist \(ab\) oder \(ac\).
- \( [S_b]\) und \([S_{\text{short}}]\): Trennendes Wort ist \(ac\).
- \( [S_{\neg b}]\) und \([S_{\text{short}}]\): Trennendes Wort ist \(bc\).

Begründung:
Für jede Äquivalenzklasse:
- \([ \epsilon ]\): Wörter werden nicht beachtet da kürzer als 2.
- \([S_b]\): Diese sind eindeutig durch ein folgendes Muster trennbar.
- \([S_{\neg b}]\): Dem Zustand entsprechend.
- \([S_{\text{short}}]\): Zu kurz um \( b \) im Wort relevant zu haben.

Regulär:

Ja, \(L_2\) ist regulär. Hier ist der DFA für \(L_2\):

python
import graphviz

dot = graphviz.Digraph()

dot.node('q0', 'q0', shape='doublecircle')
dot.node('q1', 'q1')
dot.node('q2', 'q2')
dot.node('q3', 'q3', shape='doublecircle') # Akzeptiert

dot.edge('q0', 'q1', 'b')
dot.edge('q1', 'q3', 'a')
dot.edge('q1', 'q3', 'b')
dot.edge('q1', 'q3', 'c')
dot.edge('q0', 'q2', 'c')
dot.edge('q2', 'q2', 'b')
dot.edge('q2', 'q3', '')
dot.edge('q2', 'q1', 'a')

dot.render('dfa_L2', format='png')
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