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Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass das folgende Problem unentscheidbar ist.

Problem: PDACont
Gegeben: Kellerautomaten A1, A2
Frage: Gilt L(A1) ⊆ L(A2)?

Hinweis: Reduzieren Sie von einem Grammatikproblem


(b) Zeigen Sie, dass das folgende Problem semientscheidbar ist.

Problem: CFGPalindrom
Gegeben: Kontextfreie Grammatik G
Frage: Enthält L(G) ein Palindrom, also gibt es ein Wort w ∈ L(G), so dass w = w^R?

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Antwort mit KI erzeugt

Unentscheidbarkeit des Problems PDACont:

Um zu zeigen, dass das Problem PDACont unentscheidbar ist, können wir eine Reduktion von einem bekannten unentscheidbaren Problem verwenden. Ein solches Problem ist das inklusionsproblem für kontextfreie Sprachen (CFG), welches unentscheidbar ist.

Problem: PDACont

Gegeben: Zwei Kellerautomaten \( A_1 \) und \( A_2 \)

Frage: Gilt \( L(A_1) \subseteq L(A_2) \)?

Ein Kellerautomat ist ein Automat mit einem Stack und eine kontextfreie Sprache kann durch einen Kellerautomaten erkannt werden. Wir wollen zeigen, dass es unmöglich ist, einen Algorithmus zu erstellen, der diese Frage für alle Kellerautomaten beantworten kann.

Reduktion vom Inklusionsproblem

Das Inklusionsproblem für kontextfreie Grammatiken ist: Gegeben zwei kontextfreie Grammatiken \( G_1 \) und \( G_2 \), ist \( L(G_1) \subseteq L(G_2) \)? Dieses Problem ist bekanntlich unentscheidbar.

Gegeben eine kontextfreie Grammatik \( G \), können wir einen Kellerautomaten \( A \) konstruieren, der dieselbe Sprache erkennt. Dies bedeutet, dass wir auch Kellerautomaten \( A_1 \) und \( A_2 \) konstruieren können, die die Sprachen \( L(G_1) \) und \( L(G_2) \) erkennen.

Nehmen wir nun an, es gäbe einen Algorithmus \( M \), der das Problem PDACont löst. Das bedeutet, \( M \) akzeptiert ein Paar von Kellerautomaten \( (A_1, A_2) \), wenn \( L(A_1) \subseteq L(A_2) \) gilt. Wir könnten diesen hypothetischen Algorithmus \( M \) verwenden, um das Inklusionsproblem für kontextfreie Grammatiken zu lösen, indem wir einfach \( G_1 \) und \( G_2 \) in die entsprechenden Kellerautomaten \( A_1 \) und \( A_2 \) umwandeln und dann \( M(A_1, A_2) \) aufrufen.

Da das Inklusionsproblem für kontextfreie Grammatiken unentscheidbar ist, muss das Problem PDACont ebenfalls unentscheidbar sein, da sonst indirekt ein Algorithmus für ein unentscheidbares Problem existieren würde.

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Semi-Entscheidbarkeit des Problems CFGPalindrom:

Um zu zeigen, dass das Problem CFGPalindrom semientscheidbar ist, müssen wir zeigen, dass es einen Algorithmus gibt, der im Falle der Existenz eines Palindroms in \( L(G) \) stoppen und "Ja" sagen kann. Falls kein Palindrom existiert, darf der Algorithmus entweder unendlich laufen oder korrekt "Nein" sagen.

Problem: CFGPalindrom

Gegeben: Eine kontextfreie Grammatik \( G \)

Frage: Enthält \( L(G) \) ein Palindrom, also gibt es ein Wort \( w \in L(G) \), so dass \( w = w^R \)?

Automatisierung durch einen Algorithmus

Ein Algorithmus könnte folgendermaßen vorgehen:

1. Generiere nacheinander alle Wörter \( w \) in der Sprache \( L(G) \). Dies ist möglich durch eine Enumeration, da kontextfreie Sprachen aufzählbar sind.
2. Prüfe für jedes generierte Wort \( w \), ob es ein Palindrom ist. Das ist möglich durch einfachen String-Vergleich: \( w \) ist ein Palindrom, wenn \( w = w^R \) gilt.

Falls ein Palindrom gefunden wird, stoppt der Algorithmus und gibt "Ja" aus. Andernfalls läuft er weiter.

Da dies ein prozeduraler Prozess ist, der immer dann stoppt, wenn ein Palindrom gefunden wird, ist das Problem semientscheidbar. Dies bedeutet, dass der Algorithmus garantieren kann, ein Ergebnis zu liefern, wenn es ein Palindrom in \( L(G) \) gibt (er stoppt und gibt "Ja" aus), aber möglicherweise nie stoppt, wenn kein Palindrom in \( L(G) \) vorhanden ist.

Hier ist der notwendige Pseudocode:

python
from itertools import count, product

def is_palindrome(w):
    return w == w[::-1]

def generate_words(G):
    # G is the context-free grammar, we assume a function that enumerates all words in L(G)
    for length in count(1):
        for word in product(G.alphabet, repeat=length):
            if word in G:
                yield word

def CFGPalindrom(G):
    for word in generate_words(G):
        if is_palindrome(word):
            return True
    return False

# Example usage
# Assume G is a predefined context-free grammar object having an attribute `alphabet`
# which contains all the terminal symbols of the grammar.


Dieser Algorithmus beschreibt ein Verfahren, bei dem wir alle Wörter der kontextfreien Grammatik \( G \) generieren und jedes dieser Wörter auf Palindromie prüfen. Falls ein Palindrom existiert, stoppt der Algorithmus und gibt "Ja" aus, was die Semientscheidbarkeit des CFGPalindrom-Problems beweist.
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