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Aufgabe:

Es sei \( A=\{a, b\} \) ein Alphabet und die Abbildung \( f: A^{*} \rightarrow A^{*} \) wie folgt induktiv definiert:

\( \begin{array}{c} f(\varepsilon)=\varepsilon, \quad f(a)=a, \quad f(b)=b \\ \forall w \in A^{+}: f(w \cdot a)=a \cdot f(w) \\ \forall w \in A^{+}: f(w \cdot b)=f(w) \cdot b \end{array} \)

Außerdem bezeichne \( N_{x}(w) \) die Anzahl der Vorkommen eines Zeichens \( x \in A \) in einem Wort \( w \in A^{*} \).

a) Beweisen Sie durch vollständige Induktion: \( \forall w \in A^{*}: N_{a}(w)=N_{a}(f(w)) \)

b) Sei \( L=\left\{a^{i} b^{j} \mid i, j \in \mathbb{N}_{0}\right\} \) und bezeichne \( f(M)=\{f(w) \mid w \in M\} \) für eine Menge \( M \subseteq A^{*} \).

Beweisen Sie durch vollständige Induktion: \( f\left(A^{*}\right) \subseteq L \)

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a) Beweis durch vollständige Induktion: \(\forall w \in A^{*}: N_{a}(w)=N_{a}(f(w))\)

Zunächst beweisen wir die Aussage für die Basisfälle.

Basisfall:
- \( w = \varepsilon \):
\( N_{a}(\varepsilon) = 0 \quad \text{und} \quad N_{a}(f(\varepsilon)) = N_{a}(\varepsilon) = 0. \)
Also gilt: \( N_{a}(\varepsilon) = N_{a}(f(\varepsilon)) \).

- \( w = a \):
\( N_{a}(a) = 1 \quad \text{und} \quad N_{a}(f(a)) = N_{a}(a) = 1. \)
Also gilt: \( N_{a}(a) = N_{a}(f(a)) \).

- \( w = b \):
\( N_{a}(b) = 0 \quad \text{und} \quad N_{a}(f(b)) = N_{a}(b) = 0. \)
Also gilt: \( N_{a}(b) = N_{a}(f(b)) \).

Damit sind die Basisfälle bewiesen. Nun führen wir die Induktionsannahme ein.

Induktionsannahme:
Angenommen, die Aussage gilt für alle Wörter \( w \in A^{*} \) der Länge \( n \), also:
\( N_{a}(w) = N_{a}(f(w)). \)

Induktionsschritt:
Wir zeigen nun, dass die Aussage für ein Wort \( w \in A^{*} \) der Länge \( n+1 \) gilt. Betrachte ein Wort \( w \cdot x \), wobei \( x \in \{a, b\} \) und \( w \in A^{*} \) der Länge \( n \).

- Fall \( x = a \):
\( N_{a}(w \cdot a) = N_{a}(w) + 1. \)
Nach Definition von \( f \):
\( f(w \cdot a) = a \cdot f(w). \)
Also:
\( N_{a}(f(w \cdot a)) = N_{a}(a \cdot f(w)) = 1 + N_{a}(f(w)). \)
Nach Induktionsannahme:
\( N_{a}(f(w)) = N_{a}(w). \)
Somit:
\( N_{a}(f(w \cdot a)) = 1 + N_{a}(w) = N_{a}(w \cdot a). \)

- Fall \( x = b \):
\( N_{a}(w \cdot b) = N_{a}(w). \)
Nach Definition von \( f \):
\( f(w \cdot b) = f(w) \cdot b. \)
Also:
\( N_{a}(f(w \cdot b)) = N_{a}(f(w) \cdot b) = N_{a}(f(w)). \)
Nach Induktionsannahme:
\( N_{a}(f(w)) = N_{a}(w). \)
Somit:
\( N_{a}(f(w \cdot b)) = N_{a}(w) = N_{a}(w \cdot b). \)

Damit ist der Induktionsschritt bewiesen und die Aussage durch vollständige Induktion gezeigt.

b) Beweis durch vollständige Induktion: \( f\left(A^{*}\right) \subseteq L \)

Wir möchten beweisen, dass für jedes Wort \( w \in A^{*} \):
\( f(w) \in L \)

Basisfall:
- \( w = \varepsilon \):
\( f(\varepsilon) = \varepsilon \quad \text{und} \quad \varepsilon \in L. \)

- \( w = a \):
\( f(a) = a \quad \text{und} \quad a \in L \quad (i = 1, j = 0). \)

- \( w = b \):
\( f(b) = b \quad \text{und} \quad b \in L \quad (i = 0, j = 1). \)

Induktionsannahme:
Angenommen, die Aussage gilt für alle Wörter \( w \in A^{*} \) der Länge \( n \), also:
\( f(w) \in L. \)

Induktionsschritt:
Wir zeigen, dass die Aussage für ein Wort \( w \cdot x \) der Länge \( n+1 \) gilt, wobei \( x \in \{a, b\} \) und \( w \in A^{*} \) der Länge \( n \).

- Fall \( x = a \):
Nach Definition von \( f \):
\( f(w \cdot a) = a \cdot f(w). \)
Nach Induktionsannahme ist \( f(w) \in L \), also:
\( f(w) = a^i b^j \quad \text{für einige} \quad i, j \in \mathbb{N}_0. \)
Somit:
\( f(w \cdot a) = a \cdot f(w) = a \cdot a^i b^j = a^{i+1} b^j \in L. \)

- Fall \( x = b \):
Nach Definition von \( f \):
\( f(w \cdot b) = f(w) \cdot b. \)
Nach Induktionsannahme ist \( f(w) \in L \), also:
\( f(w) = a^i b^j \quad \text{für einige} \quad i, j \in \mathbb{N}_0. \)
Somit:
\( f(w \cdot b) = f(w) \cdot b = a^i b^j \cdot b = a^i b^{j+1} \in L. \)

Damit ist der Induktionsschritt bewiesen und die Aussage durch vollständige Induktion gezeigt. Thus, \( f\left(A^{*}\right) \subseteq L \).
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