Wie soll ich dann meine Definition durch Induktion zeigen?
Überhaupt nicht. Deine Definition ist falsch. \(A(n)\) ist eine natürliche Zahl. \(L(n-3)\) und \(L(n-6)\) sind Mengen von Wörtern über dem Alphabet \(\{a,b\}\). Das ist ein deutliches Zeichen, dass \(A(n) = L(n-3)+L(n-6)\) nicht sein kann.
Stattdessen:
Sei \(n > 6\).
Sei
\(A(m) =\begin{cases} 0& \text{falls } m < 3\\ 1& \text{falls } m = 3\\ 0& \text{falls } 3 < m < 6\\ 2& \text{falls } m = 6\\ A(m-3)+A(m-6)& \text{falls } m > 6 \end{cases}\)
für alle \(m < n\).
Zeige, dass \(A(n) = A(n-3)+A(n-6)\) ist.
Das könntest du zum Beispiel zeigen indem du zeigst dass es eine bijektive Abbildung \(L(n)\to L(n-3)\cup L(n-6)\) gibt.
Außerdem, sollte L(n = 0) nicht 1 ergeben
Anscheinend wird das leere Wort nicht als Wort angesehen.
"L(n=0)" ist auch eine etwas ungewöhnliche Schreibweise. Normalerweise schreibt man einfach "L(0)".