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Aufgabe:

Ich muss einen NFA angeben der die folgende Sprache akzeptiert:

L1 := {w ∈ {0, 1}^∗| w enthält die Zeichenkette 000 oder die Zeichenkette 111}


Hat jemand vielleicht ein Lösungsansatz für ein NFA der Sprache L1?

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\(\begin{aligned}q & \stackrel{0,1}{\longrightarrow} q\\q_{F} & \stackrel{0,1}{\longrightarrow} q_{F}\\\\q & \stackrel{0}{\longrightarrow} q_0\\q_0 & \stackrel{0}{\longrightarrow} q_{00}\\q_{00} & \stackrel{0}{\longrightarrow} q_{F}\\\\q & \stackrel{1}{\longrightarrow} q_1\\q_1 & \stackrel{1}{\longrightarrow} q_{11}\\q_{11} & \stackrel{1}{\longrightarrow} q_{F}\\\end{aligned}\)

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Antwort mit KI erzeugt:

Um einen Nichtdeterministischen Endlichen Automaten (NFA) zu entwickeln, der die Sprache \(L_1\) akzeptiert, welche aus allen Wörtern \(w\) besteht, die entweder die Zeichenkette "000" oder "111" enthalten, können wir folgenden Ansatz verfolgen:

Strategie:
Der NFA, den wir konstruieren, wird zwei Kernpfade haben: einen, der nach der Sequenz "000" sucht, und einen anderen, der nach "111" sucht. Da der NFA nichtdeterministisch ist, kann er sich an jedem Punkt entscheiden, entlang welchem Pfad er basierend auf der aktuellen Eingabe und den Übergängen weitermacht.

Entwurf des NFA:

1. Startzustand \(q_0\), von dem aus der Automat nichtdeterministisch entscheiden kann, ob er nach "000" oder "111" sucht.
2. Für die Suche nach "000":
- Von \(q_0\) geht man, ohne eine Eingabe zu verbrauchen (ε-Übergang), zu Zustand \(q_1\).
- Von \(q_1\), wenn eine "0" gelesen wird, wechseln wir zu \(q_2\).
- Von \(q_2\), wenn eine "0" gelesen wird, wechseln wir zu \(q_3\).
- Von \(q_3\), wenn eine "0" gelesen wird, wechseln wir zu \(q_4\), einem Akzeptierzustand.
3. Für die Suche nach "111":
- Von \(q_0\), ebenfalls mittels eines ε-Übergangs, wechseln wir zu Zustand \(q_5\).
- Von \(q_5\), wenn eine "1" gelesen wird, wechseln wir zu \(q_6\).
- Von \(q_6\), wenn eine "1" gelesen wird, wechseln wir zu \(q_7\).
- Von \(q_7\), wenn eine "1" gelesen wird, wechseln wir zu \(q_8\), einem Akzeptierzustand.
4. Um zu gewährleisten, dass der Automat nicht stoppt, wenn er in den Zuständen \(q_1\), \(q_2\), \(q_5\), oder \(q_6\) ist und das nächste Zeichen nicht die erwartete "0" oder "1" ist, führen wir Schleifen ein, die den Automaten im aktuellen Zustand halten, wenn das nächste Zeichen nicht passt.
5. Außerdem führen wir Übergänge von \(q_3\) und \(q_7\) zurück zu \(q_1\) bzw. \(q_5\) oder direkt zu \(q_4\) oder \(q_8\) ein, basierend auf der Eingabe, um die Suche nach weiteren "000" oder "111" Sequenzen in der Eingabe zu ermöglichen.

Zusammenfassung des NFAs:
- Zustände: \(\{q_0, q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6, q_7, q_8\}\)
- Startzustand: \(q_0\)
- Akzeptierzustände: \(\{q_4, q_8\}\)
- Übergangsfunktion:
- \(q_0\) zu \(q_1\) und \(q_5\) mit ε-Übergängen.
- \(q_1\) zu \(q_2\) mit 0; \(q_2\) zu \(q_3\) mit 0; \(q_3\) zu \(q_4\) mit 0.
- \(q_5\) zu \(q_6\) mit 1; \(q_6\) zu \(q_7\) mit 1; \(q_7\) zu \(q_8\) mit 1.
- Schleifen bei \(q_1\), \(q_2\), \(q_5\), und \(q_6\) für jeweils "nicht-übereinstimmende" Zeichen, um den Suchvorgang fortzusetzen.
- Eine Art "fallback" oder Reset-Übergang von \(q_3\) und \(q_7\) zu Anfangszuständen der jeweiligen Suche oder direkt in Akzeptierzustände basierend auf der nächsten Eingabe, um Mehrfachvorkommen von "000" oder "111" zu akzeptieren.

Es ist wichtig zu beachten, dass NFAs durch ihre nichtdeterministische Natur die Macht haben, solche Sprachen einfach zu modellieren, da sie mehrere mögliche Pfade gleichzeitig "verfolgen" können.
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Ein Nondeterministic Finite Automaton (NFA), der die oben genannte Sprache akzeptiert, könnte wie folgt aussehen:

  • Es gibt drei Zustände: q0, q1, q2, die für die Überprüfung der jeweils ersten, zweiten und dritten Stelle der Eingabe verwendet werden.
  • Der Anfangszustand ist q0.
  • Der Endzustand ist q2.
  • Es gibt Übergänge von q0 nach q0, q1 und q2 bei Eingabe von 0 oder 1.
  • Es gibt Übergänge von q1 nach q1, q2 bei Eingabe von 0 oder 1.
  • Es gibt Übergänge von q2 nach q2 bei Eingabe von 0 oder 1.

So akzeptiert der NFA jede Eingabe die enthält 000 oder 111, da er sich bei der Eingabe der dritten Null oder eins im Zustand q2 befindet, und dieser Zustand ist ein Endzustand.

Der Automat akzeptiert auch das Wort 0 mittels des Übergangs vom Startzustand q0 zum Endzustand q2 bei Eingabe von 0.

Das Wort 0 ist nicht in L1 enthalten, weil es weder die Zeichenkette 000, noch die Zeichenkette 111 enthält.

Deshalb akzeptiert der Automat nicht die Sprache L1.

Kommentar mit KI erzeugt:

Lösung mit einem korrekten NFA

Basierend auf der Aufgabenstellung und den Kommentaren, ist klar, dass der erste dargestellte NFA-Ansatz korrekt ist, um die Sprache \(L_1\) zu akzeptieren. Allerdings scheint es bei dem zweiten Kommentar eine Verwechslung oder einen Fehler im Verständnis des NFAs zu geben, da der vorgeschlagene Automat, der nur aus drei Zuständen \(q_0\), \(q_1\), und \(q_2\) besteht und alle Wörter akzeptiert, offenbar nicht spezifisch genug ist, um die Bedingungen für \(L_1\) – das Akzeptieren von Wörtern, die "000" oder "111" enthalten – gezielt zu erfüllen.

Die korrekte Strategie erfordert, wie im ersten Szenario beschrieben, einen differenzierteren Ansatz mit mehr Zuständen, um gezielt auf die Sequenzen "000" und "111" zu prüfen. Hier ist eine detaillierte Beschreibung des Designs für einen solchen NFA:

- Zustände: Um beide Bedingungen ('000' und '111') zu prüfen, benötigen wir getrennte Pfade für jede Sequenz ab dem Startzustand. Die Zustände \(q_1\) bis \(q_4\) fokussieren sich auf die Erkennung von "000", während \(q_5\) bis \(q_8\) sich auf "111" konzentrieren. Zustand \(q_0\) ist der Startzustand, von dem aus wir nichtdeterministisch entscheiden können, welchen Pfad wir für die Eingabeprüfung wählen.

- Übergänge:
- Von \(q_0\) führen ε-Übergänge sowohl zu \(q_1\) als auch zu \(q_5\), was den NFA gleichzeitig nach "000" und "111" suchen lässt.
- Die Übergänge von \(q_1\) bis \(q_4\) sind speziell dafür gedacht, hintereinander drei '0'-en zu erkennen; ähnlich fokussieren sich die Übergänge von \(q_5\) bis \(q_8\) auf das Erkennen von drei '1'-en hintereinander.
- Um Fehlmatches zu behandeln (zum Beispiel eine '1' in der Mitte der Suche nach "000"), können Schleifen bei \(q_1\), \(q_2\), \(q_5\), und \(q_6\) eingeführt werden für den Fall, dass eine nicht übereinstimmende Eingabe gelesen wird, um die Suche fortzusetzen.

- Akzeptierzustände: \(q_4\) und \(q_8\) sind Akzeptierzustände, da der Automat in einem dieser Zustände signalisiert, dass die Zeichenfolge "000" oder "111" erkannt wurde.

Im Gegensatz zu dem im Kommentar vorgeschlagenen NFA-Design, welches zu General- und Missverständnissen führt, bietet dieser umfassendere Ansatz eine klare und zielgerichtete Methode, um Wörter zu akzeptieren, die die spezifizierten Bedingungen erfüllen und alle anderen abzulehnen. Durch den Einsatz von ε-Übergängen und spezifischen Pfaden für jede Bedingung ermöglicht dieses Design die parallele Überprüfung auf das Vorhandensein von "000" oder "111" in der Eingabesequenz, ohne unerwünschte Wörter fälschlicherweise zu akzeptieren.

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