Aufgabe:
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Aufgabe 3. Wir betrachten Codes \( C \subset H\left(6, \mathbb{F}_{2}\right) \), dh. Codes der Länge 6 über \( \mathbb{F}_{2}(q=2) \).
(i) Wie groß muss der Minimalabstand \( d_{\min } \) mindestens sein, damit ein Code einen Fehler erkennt, bzw. ein Code einen Fehler korrigiert?
(ii) Für \( e=1 \) bestimme man die Anzahl der Elemente im Ball \( B_{e}(v) \) um \( v \in H\left(6, \mathbb{F}_{2}\right) \). Hinweis: Die Anzahl der Elemente des Balls vom Radius \( e \) ist gegeben als:
\( \left|B_{e}(v)\right|=\sum \limits_{i=0}^{e}\left(\begin{array}{l} n \\ i \end{array}\right)(q-1)^{i} \)
(iii) Lässt sich für \( e=1 \) ein perfekter Code in \( H\left(6, \mathbb{F}_{2}\right) \) finden?
Lösung. (i) Nach Bemerkung \( 9.1 .8 \) erkennt ein Code \( d-1 \) Fehler, wenn der Minimalabstand \( d \) ist. Für unseren Fall muss also \( d_{\min } \geq 2 \) gelten, dh. der Minimalabstand muss mindestens 2 betragen.
Ein Code korrigiert \( e \) Fehler, falls \( d_{\min } \geq 2 e+1 \) gilt (ebenfalls laut Bemerkung 9.1.8). Der Minimalabstand muss also mindestens 3 sein.
(ii) Mit \( q=2, n=6 \) und \( e=1 \) gilt
\( \left|B_{1}(v)\right|=\sum \limits_{i=0}^{1}\left(\begin{array}{l} 6 \\ i \end{array}\right)(2-1)^{i}=\left(\begin{array}{l} 6 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 6 \\ 1 \end{array}\right)=1+6=7 \)
(iii) Für einen perfekten Code muss gelten \( |H(n, q)|=|C| \cdot\left|B_{e}(c)\right| \). Da \( \left|B_{1}(c)\right|=7 \) nicht \( H\left(6, \mathbb{F}_{2}\right)=64 \) teilt, kann es keinen perfekten Code geben.
Problem/Ansatz:
Mir geht es primär um die ii). Die Variablenbelegungen sind soweit nachvollziehbar. Ich habe eine Frage zur Rechnung:
Wie berechne ich diese übergestellten Zahlen? Also wieso ist 6 über 0 = 1? und 6 über 1 = 6?
Falls jemand noch was zur iii) sagen könnte wäre das auch super, so wirklich verstehe ich die Lösung nicht. Insbesondere wie man da auf die 64 kommt.
