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Aufgabe:

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Text erkannt:

Aufgabe 3. Wir betrachten Codes \( C \subset H\left(6, \mathbb{F}_{2}\right) \), dh. Codes der Länge 6 über \( \mathbb{F}_{2}(q=2) \).
(i) Wie groß muss der Minimalabstand \( d_{\min } \) mindestens sein, damit ein Code einen Fehler erkennt, bzw. ein Code einen Fehler korrigiert?
(ii) Für \( e=1 \) bestimme man die Anzahl der Elemente im Ball \( B_{e}(v) \) um \( v \in H\left(6, \mathbb{F}_{2}\right) \). Hinweis: Die Anzahl der Elemente des Balls vom Radius \( e \) ist gegeben als:
\( \left|B_{e}(v)\right|=\sum \limits_{i=0}^{e}\left(\begin{array}{l} n \\ i \end{array}\right)(q-1)^{i} \)
(iii) Lässt sich für \( e=1 \) ein perfekter Code in \( H\left(6, \mathbb{F}_{2}\right) \) finden?
Lösung. (i) Nach Bemerkung \( 9.1 .8 \) erkennt ein Code \( d-1 \) Fehler, wenn der Minimalabstand \( d \) ist. Für unseren Fall muss also \( d_{\min } \geq 2 \) gelten, dh. der Minimalabstand muss mindestens 2 betragen.
Ein Code korrigiert \( e \) Fehler, falls \( d_{\min } \geq 2 e+1 \) gilt (ebenfalls laut Bemerkung 9.1.8). Der Minimalabstand muss also mindestens 3 sein.
(ii) Mit \( q=2, n=6 \) und \( e=1 \) gilt
\( \left|B_{1}(v)\right|=\sum \limits_{i=0}^{1}\left(\begin{array}{l} 6 \\ i \end{array}\right)(2-1)^{i}=\left(\begin{array}{l} 6 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 6 \\ 1 \end{array}\right)=1+6=7 \)
(iii) Für einen perfekten Code muss gelten \( |H(n, q)|=|C| \cdot\left|B_{e}(c)\right| \). Da \( \left|B_{1}(c)\right|=7 \) nicht \( H\left(6, \mathbb{F}_{2}\right)=64 \) teilt, kann es keinen perfekten Code geben.


Problem/Ansatz:

Mir geht es primär um die ii). Die Variablenbelegungen sind soweit nachvollziehbar. Ich habe eine Frage zur Rechnung:

Wie berechne ich diese übergestellten Zahlen? Also wieso ist 6 über 0 = 1? und 6 über 1 = 6?

Falls jemand noch was zur iii) sagen könnte wäre das auch super, so wirklich verstehe ich die Lösung nicht. Insbesondere wie man da auf die 64 kommt.

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Zu den "übergestellten" Zahlen: Informieren Dich über "Binomialkoeffizienten"

Zur Zahl 64: Schreib doch mal eine Code'Wort aus diesem Code hierhin.

Ok mache ich.

Zu iii)

Ein Codewort wäre 000000. Oder aber auch 000111. Oder auch 010101. Worauf willst du hinaus?

Du hast für das Code-Wort 6 Positionen. Auf jede Position kannst Du eine 0 oder eine 1 setzen.

Wenn Du alle Code-Wörter aufschreiben willst: Für die erste Position hast Du 2 Möglichkeiten: 0 oder 1. Wenn Du dann die 2. Position besetzt, kannst Du jeder der beiden Wort-Anfänge durch 0 oder 1 ergänzen; das liefert insgesamt 2*2 Wörter. Bei der 3. Position kannst Du jeden der bisherigen Wortanfänge durch 0 oder 1 ergänzen, macht 2*2*2 ....

Insgesamt hast Du so 2^6 Möglichkeiten.

Achso ok, danke!

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