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Aufgabe:

Es sei S = (X,K,X,e,d) ein possibilistisch sicheres Kryptosystem. Sie definieren S'' = (X, K ├Ś K, X, e'',d'') durch e''(x,(k1,k2)) = e(e(x,k1),k2). Beweisen oder widerlegen Sie, dass auch S'' possibilistisch sicher ist.

Problem/Ansatz:

Meine L├Âsung w├Ąre folgende: Ich wei├č, dass S possibilistisch sicher ist. Da S'' eine doppelte Verschl├╝sselung darstellt, sollte es auch wieder possibilistisch sicher sein. Wenn wir die innere Verschl├╝sselung "e(x,k1)" anwenden, erhalten wir einen Chiffriertext, der auch in der Klartextmenge enthalten ist. Durch erneutes Verschl├╝sseln sollte es somit possibilistisch sicher sein. Das w├Ąre ja dann wieder eine ganz normale Verschl├╝sselung von S. Ist meine Annahme korrekt und wie beweist man dies?

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Titel der Frage: Ist diese Kryptosystem possibilistisch sicher? Wie beweist man dies?

L├Âsung:

Um zu zeigen, dass das Kryptosystem \( S'' \) possibilistisch sicher ist, wenn das Kryptosystem \( S \) es ist, m├╝ssen wir die Definition der possibilistischen Sicherheit verstehen und diese auf \( S'' \) anwenden.

Definition der possibilistischen Sicherheit
Ein Kryptosystem \( S = (X,K,X,e,d) \) ist possibilistisch sicher, wenn f├╝r jeden Chiffretext \( c \in X \) und jeden Klartext \( x \in X \) immer mindestens ein Schl├╝ssel \( k \in K \) existiert, so dass \( e(x,k) = c \).

Aufbau von \( S'' \)

Gegeben sei das Kryptosystem \( S = (X, K, X, e, d) \), und es wird das neue Kryptosystem \( S'' = (X, K \times K, X, e'', d'') \) definiert durch:

\( e''(x, (k1, k2)) = e(e(x, k1), k2) \)

Beweis der possibilistischen Sicherheit von \( S'' \)

Zu zeigen: F├╝r jeden Chiffretext \( c'' \in X \) und jeden Klartext \( x \in X \) existiert ein Schl├╝ssel \( (k1, k2) \in K \times K \), so dass \( e''(x, (k1, k2)) = c'' \).

Schritt 1: Innere Verschl├╝sselung
Da \( S \) possibilistisch sicher ist, existiert f├╝r jeden \( c \in X \) und \( x \in X \) ein Schl├╝ssel \( k_1 \in K \), so dass:

\( e(x, k1) = c \)

Schritt 2: ├äu├čere Verschl├╝sselung
Analog, da \( S \) possibilistisch sicher ist, existiert f├╝r jeden \( c'' \in X \) und \( c \in X \) ein Schl├╝ssel \( k_2 \in K \), so dass:

\( e(c, k2) = c'' \)

Nun nehmen wir \( c = e(x, k1) \), dann existiert \( k_2 \in K \), so dass:

\( e(e(x, k1), k2) = c'' \)

Schlussfolgerung
Da wir f├╝r jeden Klartext \( x \in X \) und jeden Chiffretext \( c'' \in X \) die Schl├╝ssel \( k1 \in K \) und \( k2 \in K \) finden k├Ânnen, so dass \( e''(x, (k1, k2)) = c'' \), folgt, dass \( S'' \) possibilistisch sicher ist.

Fazit
Da f├╝r jeden Klartext \( x \in X \) und jeden Chiffretext \( c'' \in X \) immer ein Schl├╝ssel \( (k1, k2) \in K \times K \) existiert, so dass \( e''(x, (k1, k2)) = c'' \), ist das Kryptosystem \( S'' = (X, K \times K, X, e'', d'') \) possibilistisch sicher.
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