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Titel der Frage: Bestimmen Sie den Friedman’schen Koinzidenzindex IG für die Gleichverteilung auf A*
Aufgabe:
Aufgabe:
Die LALL-Sprache benutzt das Alphabet \( A := \{A,L\} \). In einem sinnvollen LALL-Wort muss der Anteil des Buchstaben A genau ein Viertel betragen.
(a) Bestimmen Sie den Friedman’schen Koinzidenzindex \( I_G \) für die Gleichverteilung auf \( A^* \).
Der Friedman’sche Koinzidenzindex für die Gleichverteilung \( I_G \) auf einem Alphabet mit \( k \) Zeichen wird berechnet als:
\(
I_G = \frac{1}{k}
\)
Für das Alphabet \( A := \{A, L\} \) haben wir \( k = 2 \).
\(
I_G = \frac{1}{2} = 0.5
\)
(b) Bestimmen Sie den Friedman’schen Koinzidenzindex \( I_L \) der LALL-Sprache.
In einem sinnvollen LALL-Wort muss der Anteil des Buchstabens \( A \) genau ein Viertel betragen. Das bedeutet:
\(
P(A) = \frac{1}{4}, \quad P(L) = \frac{3}{4}
\)
Der Friedman’sche Koinzidenzindex \( I_L \) kann mit der Formel:
\(
I_L = P(A)^2 + P(L)^2
\)
berechnet werden. Somit:
\(
I_L = \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}
\)
(c) Bestimmen Sie \( I(\text{LALLLLLA}) \).
Zuerst zählen wir die Buchstaben:
- Anzahl der \(A\): 2
- Anzahl der \(L\): 6
- Länge des Wortes \(n\): 8
Die Wahrscheinlichkeit für jeden Buchstaben:
\(
P(A) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \quad P(L) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\)
Der Friedman’sche Koinzidenzindex \(I(\text{LALLLLLA})\) ist:
\(
I(\text{LALLLLLA}) = P(A)^2 + P(L)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}
\)
(d) Es sei \( x \in A^* \) ein sinnvoller String der Länge \( n \).
i. Bestimmen Sie \(I(x)\) für die Fälle \(n = 4\), \(n = 40\), \(n = 100\) und \(n = 1000\).
Da der Anteil des Buchstabens \( A \) genau ein Viertel beträgt und der Anteil des Buchstabens \( L \) demnach drei Viertel, bleibt der Koinzidenzindex konstant:
\(
I(x) = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}
\)
Es ist also für alle \( n \):
\(
I(x) = \frac{5}{8}
\)
ii. Was ergibt sich für allgemeines \( n \)?
Da sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, bleibt der Koinzidenzindex dieselbe:
\(
I(x) = \frac{5}{8}
\)
iii. Untersuchen Sie \( I(x) \) für \( n \to \infty \). Was fällt auf?
Wenn \( n \) gegen unendlich geht, bleibt das Verhältnis der Buchstaben \( A \) und \( L \) konstant, somit bleibt auch der Koinzidenzindex konstant:
\(
I(x) = \frac{5}{8}
\)
Es fällt auf, dass der Index unabhängig von der Länge des Strings \( n \) immer gleich bleibt, solange der Anteil des Buchstabens \( A \) genau ein Viertel bleibt und der Anteil des Buchstabens \( L \) drei Viertel beträgt.
