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Aufgabe:

Die LALL-Sprache benutzt das Alphabet A := {A,L}. In einem sinnvollen LALL-Wort muss der Anteil des Buchstaben A genau ein Viertel betragen.

(a) Bestimmen Sie den Friedman’schen Koinzidenzindex IG für die Gleichverteilung auf A* .

(b) Bestimmen Sie den Friedman’schen Koinzidenzindex IL der LALL-Sprache.

(c) Bestimmen Sie I(LALLLLLA).

(d) Es sei x ∈ A* ein sinnvoller String der Länge n.

i. BestimmenSie I(x) fürdieFälle n=4, n=40, n=100 und n=1000.

ii. Was ergibt sich für allgemeines n?

iii. Untersuchen Sie I(x) für n → ∞. Was fällt auf?

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Titel der Frage: Bestimmen Sie den Friedman’schen Koinzidenzindex IG für die Gleichverteilung auf A*

Aufgabe:

Aufgabe:

Die LALL-Sprache benutzt das Alphabet \( A := \{A,L\} \). In einem sinnvollen LALL-Wort muss der Anteil des Buchstaben A genau ein Viertel betragen.

(a) Bestimmen Sie den Friedman’schen Koinzidenzindex \( I_G \) für die Gleichverteilung auf \( A^* \).

Der Friedman’sche Koinzidenzindex für die Gleichverteilung \( I_G \) auf einem Alphabet mit \( k \) Zeichen wird berechnet als:

\( I_G = \frac{1}{k} \)

Für das Alphabet \( A := \{A, L\} \) haben wir \( k = 2 \).

\( I_G = \frac{1}{2} = 0.5 \)

(b) Bestimmen Sie den Friedman’schen Koinzidenzindex \( I_L \) der LALL-Sprache.

In einem sinnvollen LALL-Wort muss der Anteil des Buchstabens \( A \) genau ein Viertel betragen. Das bedeutet:

\( P(A) = \frac{1}{4}, \quad P(L) = \frac{3}{4} \)

Der Friedman’sche Koinzidenzindex \( I_L \) kann mit der Formel:

\( I_L = P(A)^2 + P(L)^2 \)

berechnet werden. Somit:

\( I_L = \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \)

(c) Bestimmen Sie \( I(\text{LALLLLLA}) \).

Zuerst zählen wir die Buchstaben:

- Anzahl der \(A\): 2
- Anzahl der \(L\): 6
- Länge des Wortes \(n\): 8

Die Wahrscheinlichkeit für jeden Buchstaben:

\( P(A) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \quad P(L) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)

Der Friedman’sche Koinzidenzindex \(I(\text{LALLLLLA})\) ist:

\( I(\text{LALLLLLA}) = P(A)^2 + P(L)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \)

(d) Es sei \( x \in A^* \) ein sinnvoller String der Länge \( n \).

i. Bestimmen Sie \(I(x)\) für die Fälle \(n = 4\), \(n = 40\), \(n = 100\) und \(n = 1000\).

Da der Anteil des Buchstabens \( A \) genau ein Viertel beträgt und der Anteil des Buchstabens \( L \) demnach drei Viertel, bleibt der Koinzidenzindex konstant:

\( I(x) = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \)

Es ist also für alle \( n \):

\( I(x) = \frac{5}{8} \)

ii. Was ergibt sich für allgemeines \( n \)?

Da sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, bleibt der Koinzidenzindex dieselbe:

\( I(x) = \frac{5}{8} \)

iii. Untersuchen Sie \( I(x) \) für \( n \to \infty \). Was fällt auf?

Wenn \( n \) gegen unendlich geht, bleibt das Verhältnis der Buchstaben \( A \) und \( L \) konstant, somit bleibt auch der Koinzidenzindex konstant:

\( I(x) = \frac{5}{8} \)

Es fällt auf, dass der Index unabhängig von der Länge des Strings \( n \) immer gleich bleibt, solange der Anteil des Buchstabens \( A \) genau ein Viertel bleibt und der Anteil des Buchstabens \( L \) drei Viertel beträgt.
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