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Aufgabe:

Gegeben seien eine endliche Menge \( K \neq \emptyset \) und eine natürliche Zahl \( n \geq 1 \).

Beweisen Sie, dass der Hamming-Abstand auf \( K^{n} \) eine Metrik definiert.

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Beweis, dass der Hamming-Abstand auf \( K^n \) eine Metrik definiert

Definition des Hamming-Abstandes:

Sei \( x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \) und \( y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \) zwei Elemente aus \( K^n \). Der Hamming-Abstand \( d_H(x, y) \) ist definiert als die Anzahl der Positionen, an denen \( x \) und \( y \) verschieden sind.

\( d_H(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \delta(x_i, y_i) \)

wobei \( \delta(x_i, y_i) = \begin{cases} 0, & \text{wenn } x_i = y_i \\ 1, & \text{wenn } x_i \neq y_i \end{cases} \)

Um zu beweisen, dass \( d_H \) eine Metrik ist, müssen wir zeigen, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

1. Nichtnegativität: \( d_H(x, y) \geq 0 \) für alle \( x, y \in K^n \)
2. Identität: \( d_H(x, y) = 0 \) genau dann, wenn \( x = y \)
3. Symmetrie: \( d_H(x, y) = d_H(y, x) \) für alle \( x, y \in K^n \)
4. Dreiecksungleichung: \( d_H(x, z) \leq d_H(x, y) + d_H(y, z) \) für alle \( x, y, z \in K^n \)

1. Nichtnegativität:

Da \( \delta(x_i, y_i) \) für jedes \( i \) entweder 0 oder 1 ist, ist \( \delta(x_i, y_i) \geq 0 \). Somit ist auch die Summe \( d_H(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \delta(x_i, y_i) \) immer nichtnegativ.

\( d_H(x, y) \geq 0 \)

2. Identität:

Wenn \( x = y \), dann \( x_i = y_i \) für alle \( i \), sodass \( \delta(x_i, y_i) = 0 \) für alle \( i \). Daher ist

\( d_H(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \delta(x_i, y_i) = 0 \)

Umgekehrt, wenn \( d_H(x, y) = 0 \), dann muss für jedes \( i \) gelten, dass \( \delta(x_i, y_i) = 0 \), was bedeutet, dass \( x_i = y_i \). Somit ist \( x = y \).

3. Symmetrie:

Da \( \delta(x_i, y_i) = \delta(y_i, x_i) \) für alle \( i \), ist

\( d_H(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \delta(x_i, y_i) = \sum_{i=1}^{n} \delta(y_i, x_i) = d_H(y, x) \)

4. Dreiecksungleichung:

Für \( x, y, z \in K^n \) haben wir:

\( d_H(x, z) = \sum_{i=1}^{n} \delta(x_i, z_i) \)

Für jedes \( i \) gilt durch die Eigenschaft von \(\delta\):

\( \delta(x_i, z_i) \leq \delta(x_i, y_i) + \delta(y_i, z_i) \)

Summieren wir über alle \( i \) von 1 bis \( n \), erhalten wir:

\( \sum_{i=1}^n \delta(x_i, z_i) \leq \sum_{i=1}^n (\delta(x_i, y_i) + \delta(y_i, z_i)) \)

Dies lässt sich weiter als die Summe der einzelnen Hamming-Abstände ausdrücken:

\( d_H(x, z) \leq d_H(x, y) + d_H(y, z) \)

Damit sind alle Bedingungen einer Metrik gezeigt.

Schlussfolgerung:

Der Hamming-Abstand \( d_H \) auf \( K^n \) erfüllt alle notwendigen Eigenschaften einer Metrik: Nichtnegativität, Identität, Symmetrie und Dreiecksungleichung. Daher ist der Hamming-Abstand eine Metrik auf \( K^n \).
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