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Wir betrachten den BSCε mit ε = 0,1 und den Blockcode C = {c1, c2} mit den Codeworten c1 = 010 und c2 = 101. Auf das empfangene Wort y wird ein Decodierer D = {D1,D2} angewandt, der das Wort zu dem Codewort decodiert, welches den geringsten Hamming-Abstand zu y besitzt. Bestimmen Sie D1 und D2 und die globale Fehlerwahrscheinlichkeit ERROR(D), wenn die Codeworte mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.

Tipp: Zu einer gegebenen Ausgabe y gibt es nur eine mögliche Eingabe x, die zu einer fehlerhaften Decodierung führt. (Y = 100 wird nur falsch dekodiert, wenn die gesendete Nachricht x = c1 = 010 ist.) Der Term (1− p(D(y)|y)) lässt sich also ausdrücken als Pr[X = x|Y = y]für ein geeignetes x.

Nun $$\begin{aligned} &\text { Hamming-Abstände: }\\ &\begin{array}{c|cc} \text { Code } & 010 & 101 \\ \hline \hline 000 & 1 & 2 \\ \hline 001 & 2 & 1 \\ \hline 010 & 0 & 3 \\ \hline 011 & 1 & 2 \\ \hline 100 & 2 & 1 \\ \hline 101 & 3 & 0 \\ \hline 110 & 1 & 2 \\ \hline 111 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} \end{aligned}$$

$$\left.D_{1}=\{000,010,011,110\} \text { (entscheidet sich für } 010\right) \\ \left.D_{2}=\{001,100,101,111\} \text { (entscheidet sich für } 101\right)$$

$$\begin{aligned} E R R O R(D) &=\sum_{y \in \Sigma_{A}^{3}} p(y)(1-p(D(y) | y)) \\ &=\overbrace{2 \cdot p(y)(1-p(D(y) | y))}+\quad \overbrace{6 \cdot p(y)(1-p(D(y) | y))}^{ } \\ &=2 \cdot\left(\frac{729}{2000}+\frac{1}{2000}\right)\left(\frac{7}{250}\right)+6 \cdot\left(\frac{81}{2000}+\frac{9}{2000}\right)\left(\frac{757}{1000}\right) \end{aligned}$$ Woraus ergeben sich$$ \frac{7}{250}$$ und $$\frac{757}{1000}$$

Ich versuche zu begreifen, woher diese beiden Wahrscheinlichkeiten herkommen.

von
"wenn die Codeworte mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten."

Kannst du die Codeworte zählen? Wenn nicht: Kannst du sie "aufzählen"?

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