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Aufgabe:

Sei L eine Skipliste mit n Einträgen. Zeigen Sie: Die erwartete Anzahl von Knoten in L ist O(n).

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Skipliste und Knotenanzahl

Eine Skipliste ist eine Datenstruktur, die eine Alternative zu balancierten Binärbäumen und verketteten Listen darstellt. Eine Skipliste ermöglicht eine effiziente Suche, Einfügung und Löschung von Elementen durch eine Multilevel-verLinkung von Listenknoten.

Ein aus \( n \) Einträgen bestehendes Skipliste hat mehrere Ebenen, wobei jede Ebene eine Teilmenge der Einträge der darunter liegenden Ebene enthält. Die höchste Ebene enthält normalerweise nur zwei Wächterknoten (Start- und Endknoten), und die vertikale Verteilung der Knoten auf den höherstufigen Listen erfolgt mit einer Wahrscheinlichkeitsregel.

Erwartete Anzahl der Knoten in einer Skipliste

In einer Skipliste bestimmt die Heuristik eine optimale Höhe für jede neue hinzugefügte Ebene zufällig. Für jeden Knoten auf Ebene \( i \) wird mit einer Wahrscheinlichkeit von \( \frac{1}{2} \) entschieden, ob er auch auf der nächsten höheren Ebene \( i+1 \) erscheinen soll. Das bedeutet, dass jede Ebene \( i \) im Durchschnitt nur \( \frac{1}{2} \) so viele Knoten wie die Ebene \( i-1 \) enthält.

Um diese Erwartungswerte zu berechnen, führen wir die Berechnung der erwarteten Anzahl von Knoten auf den verschiedenen Ebenen der Skip-Liste durch.

Formale Berechnung

1. Anzahl der Knoten auf Ebene 0:

Ebene 0 enthält alle \(n\) Knoten.
\( E_0 = n \)

2. Anzahl der Knoten auf Ebene 1:

Hier wird erwartet, dass jeder Knoten mit einer Wahrscheinlichkeit von \( \frac{1}{2} \) auf Ebene 1 erscheint.
\( E_1 = \frac{n}{2} \)

3. Anzahl der Knoten auf Ebene 2:

Hier wird erwartet, dass jeder Knoten der Ebene 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von \( \frac{1}{2} \) auf Ebene 2 erscheint.
\( E_2 = \frac{n}{4} \)

Dies geht so weiter:

4. Allgemeine Regel für Anzahl der Knoten auf Ebene \( i \):

\( E_i = \frac{n}{2^i} \)

Gesamterwartete Anzahl der Knoten:

Die Gesamterwartung der Anzahl der Knoten in der gesamten Skipliste L ergibt sich durch die Summe der erwarteten Knotenanzahlen auf allen Ebenen:
\( E[\text{Gesamtanzahl der Knoten}] = E_0 + E_1 + E_2 + \cdots \)

Es ergibt eine geometrische Reihe:
\( E[\text{Gesamtanzahl der Knoten}] = n \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \right) \)

Die Summe dieser unendlichen geometrischen Reihe mit der Anwendung der Summenregel für konvergente Reihen beträgt:
\( \text{Summe} = \sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^i = 2 \)

Also ist:
\( E[\text{Gesamtanzahl der Knoten}] = n \times 2 = 2n \)

Schlussfolgerung

Die erwartete Anzahl der Knoten \( E \) in einer Skip-Liste mit \( n \) Einträgen beträgt \( 2n \). Nach der O-Notation (Big-O-Notation) ist die erwartete Anzahl der Knoten in L \( O(n) \).

\( \boxed{\text{Die erwartete Anzahl der Knoten in L ist } O(n)} \)
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