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Aufgabe:

Für jedes \( i \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( a_{i} \) ein Symbol so, dass für jedes \( k \in \mathbb{Z}_{i} \) gilt \( a_{k} \neq a_{i} \). Weiter sei \( M \) die Menge \( \left\{a_{i} \mid i \in \mathbb{N}_{0}\right\} \).

a) Geben Sie für jedes \( k \in \mathbb{N}_{+} \)ein Alphabet \( A_{k} \subseteq M \) und ein Wort \( u_{k} \in A_{k}^{*} \) so an, dass jedes Symbol \( x \in A_{k} \) mindestens einmal in \( u_{k} \) vorkommt und für jede Hufmann-Codierung \( h: A_{k}^{*} \rightarrow\{0,1\}^{*} \) von \( u_{k} \) gilt:

Für jedes \( x \in A_{k} \) gilt \( |h(x)|=k \).

b) Geben Sie für jedes \( n \in \mathbb{N}_{+} \)ein Alphabet \( B_{n} \subseteq M \) und ein Wort \( w_{n} \in B_{n}^{*} \) so an, dass jedes Symbol \( x \in B_{n} \) mindestens einmal in \( w_{n} \) vorkommt und für jede Hufmann-Codierung \( h: B_{n}^{*} \rightarrow\{0,1\}^{*} \) von \( w_{n} \) gelten:

- Es gibt ein Symbol \( x \in B_{n} \) mit \( |h(x)|=1 \);
- Es gibt ein Symbol \( x \in B_{n} \) mit \( |h(x)|=n \);
- Für jedes Symbol \( x \in B_{n} \) gilt \( |h(x)| \in\{1, n\} \).

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Antwort mit KI erzeugt

Lösung zu Aufgabe a)

Für jedes gegebene \(k \in \mathbb{N}_{+}\), d.h. für alle positiven natürlichen Zahlen, wollen wir ein Alphabet \(A_{k}\) und ein Wort \(u_{k}\) definieren, welche die vorgegebenen Bedingungen erfüllen.

Da das Alphabet \(A_{k}\) aus der Menge \(M\) stammen soll und \(M\) für jedes \(i \in \mathbb{N}_{0}\) unique Symbole \(a_{i}\) enthält, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit sagen, dass \(A_{k}\) die ersten \(k\) Symbole aus \(M\) sein könnten, sodass \(A_{k} = \{a_0, a_1, \ldots, a_{k-1}\}\).

Um sicherzustellen, dass jedes Symbol in \(A_{k}\) mindestens einmal in \(u_{k}\) vorkommt und dass für jede Huffman-Codierung \(h: A_{k}^{*} \rightarrow \{0,1\}^{*}\) von \(u_{k}\) gilt, dass für jedes \(x \in A_{k}\) \(|h(x)|=k\) ist, benötigen wir eine bestimmte Eigenschaft in unserem Wort \(u_{k}\). Insbesondere benötigen wir, dass jedes Symbol mit gleicher Häufigkeit in \(u_{k}\) vorkommt, um eine Huffman-Codierung mit gleicher Länge für jedes Symbol zu erzwingen.

Ein einfaches Beispiel für ein solches Wort \(u_{k}\) wäre daher, jedes Symbol aus\( A_{k}\) exakt einmal zu nutzen, also \(u_{k} = a_0a_1\ldots a_{k-1}\). Dies stellt sicher, dass alle Symbole gleich häufig (genau einmal) vorkommen. Für praktische Zwecke der Huffman-Codierung bedeutet dies, dass jedes Symbol in \(u_{k}\) eine gleiche relative Häufigkeit hat, was zur Folge hat, dass die Huffman-Codierung jedem Symbol eine Codierung derselben Länge zuordnen würde.

Für \(k=3\), würde das bedeuten, \(A_3 = \{a_0, a_1, a_2\}\) und \(u_3 = a_0a_1a_2\).

Lösung zu Aufgabe b)

Für \(n \in \mathbb{N}_{+}\), also alle positiven natürlichen Zahlen, sollen wir ein Alphabet \(B_{n}\) und ein Wort \(w_{n}\) angeben, welche die vorgegebenen Bedingungen erfüllen.

Gegeben die Bedingungen für die Huffman-Codierung und das Wort \(w_{n}\), scheint es strategisch sinnvoll zu sein, ein Alphabet \(B_{n}\) zu wählen, das aus genau zwei Symbolen besteht, eines, dessen Häufigkeit extrem hoch ist (damit es die Codierungslänge 1 erhält) und ein anderes, das deutlich seltener vorkommt (und damit die Codierungslänge \(n\) erhält). Es sollte keine weiteren Symbole geben, damit die Bedingung erfüllt ist, dass alle Codierungslängen entweder 1 oder \(n\) sind.

Für \(B_{n}\) wählen wir daher \(B_{n} = \{a_0, a_1\}\). Um die Bedingungen für \(w_{n}\) zu erfüllen, könnten wir definieren, dass \(a_0\) sehr oft vorkommt, z.B. \(2^n - 2\) mal, um sicherzustellen, dass es die Länge 1 erhält, und \(a_1\) kommt genau einmal vor, um sicherzustellen, dass es die Länge \(n\) erhält.

Daher könnte ein mögliches Wort \(w_n\) so aussehen:

$$ w_{n} = a_0^{2^n - 2}a_1 $$

Das heißt, \(w_{n}\) besteht aus \(2^n - 2\) Wiederholungen von \(a_0\) gefolgt von einem einzigen \(a_1\).

Dies stellt sicher, dass in jeder Huffman-Codierung \(a_0\) die Codierungslänge 1 erhält, aufgrund seiner hohen Häufigkeit im Vergleich zu \(a_1\), welches die Codierungslänge \(n\) erhalten soll, indem es deutlich seltener vorkommt.
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