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Aufgabe Binäre Festkommazahlen multiplizieren:

Wie genau funktioniert Schritt für Schritt das Multiplizieren von zwei Festkommazahl?

Ich finde nur Beispiele, aber keine Erklärung.

Ich wäre mich über ein Beispiel mit Erklärung freuen.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Festkommazahl

Unter "Rechnen mit Festkommazahlen"

Schriftliche Multiplikation Dualzahlen wird hier vorgeführt. https://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem#Schriftliche_Multiplikation

Ist das so weit bekannt und klar?

Erst danach kannst du dich um Festkommazahlen kümmern. Das Prinzip ist dasselbe.

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Antwort mit KI erzeugt

Binäre Festkommazahlen multiplizieren

Um binäre Festkommazahlen zu multiplizieren, folgt man einem Verfahren, das dem manuellen Multiplizieren von Dezimalzahlen ähnlich ist, jedoch mit einigen Besonderheiten der binären Arithmetik. Bei binären Festkommazahlen ist die Position des Kommas fest, d.h., die Anzahl der Bits (oder Stellen) vor und nach dem Komma ändert sich nicht.

Wir betrachten ein Beispiel, um den Prozess klarzumachen.
Nehmen wir an, wir möchten die binären Festkommazahlen \(0.101_2\) und \(1.01_2\) multiplizieren.

Schritte zum Multiplizieren binärer Festkommazahlen

1. Ignoriere zunächst das Komma und betrachte die Zahlen als ganze binäre Zahlen. In unserem Beispiel würden \(0.101_2\) und \(1.01_2\) zu \(101_2\) und \(101_2\).

2. Multipliziere die Zahlen wie ganze Binärzahlen.
- \(101_2 \times 101_2 = 11001_2\)

3. Korrektur für die Position des Dezimalpunkts. Da beide ursprünglichen Zahlen drei Stellen nach dem Punkt hatten (kombiniert sechs Stellen), sollte das Ergebnis sechs Stellen nach dem Punkt haben.
- Das bedeutet, dass \(11001_2\) als \(0.011001_2\) interpretiert werden sollte, um die Stellen für das Komma korrekt zu berücksichtigen.

Einzelnen Rechenschritte für die Multiplikation

Um die Multiplikation von \(101_2\) und \(101_2\) schrittweise zu demonstrieren, führen wir eine Multiplikation wie bei ganzen Zahlen im Binärsystem durch:


           101
         x 101
  -----------------
           101   (101 mal 1)
          0      (101 mal 0, eine Stelle nach links verschoben)
    + 101        (101 mal 1, zwei Stellen nach links verschoben)
  -----------------
         11001


Dies ergibt nach Korrektur für das Komma das endgültige Ergebnis \(0.011001_2\).

Besonderheiten

- Überlauf: Wenn nach der Korrektur das Ergebnis mehr Stellen vor oder nach dem Komma hat, als erlaubt, kann es zu einem Überlauf kommen.
- Genauigkeit: Die Genauigkeit des Ergebnisses hängt von der Anzahl der Stellen nach dem Komma ab, die für die Operationen verwendet werden. Es kann zu Präzisionsverlusten kommen, insbesondere wenn das Ergebnis mehr Stellen benötigt, als verfügbar.

Durch dieses Verfahren können binäre Festkommazahlen Schritt für Schritt multipliziert werden, wobei die Einhaltung der Position des Kommas entscheidend ist für korrekte Ergebnisse.
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