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Hallo Leute!

Ich soll wieder Äquivalenzen zeigen :)

M ist eine Menge und A(x) ist eine Aussage. Zu zeigen ist:

¬(∀ x ∈ M : A(x)) ⇔ ∃ x ∈ M : ¬ A(x)

Die Äquivalenz wird einem schnell klar, wenn man drüber nachdenkt, doch wie beweise ich so etwas?

Imgrunde muss ich ja nur die Aussage in der Klammer der linken Seite negieren. Daraus würde die rechte Seite folgen, doch wie kann man das formal aufschreiben?


Eine andere Idee von mir wäre, dass man die beiden Aussagen in Sätze verfasst:

links: "Nicht für alle x ∈ M gilt die Aussage A(x)."

rechts: "Es gibt (mindestens) ein x ∈ M, für das die Aussage A(x) nicht gilt."

Hier sieht man ja, dass die Aussagen äquivalent sind. Aber ich fürchte dieser "Beweis" ist zu banal :)


Was sind eure Ideen, wie man hier die Äquivalenz formal beweist?

Dankeschön!

von

Die Negation der Klammer auf der linken Seite ist genau das, was auf der rechten Seite steht.

Deswegen bin ich stutzig, wie ich genau vorgehen soll?! Reicht da der Kommentar: "Durch Negation der Klammer der linken Seite folgt durch Umkehrung des All-Quantors zum Existenz-Quantor und durch Negation der Aussage A(x) de reche Seite."?

Ich kenne weder den, an den die Lösung gehen soll, noch das Thema unter dem diese Aufgabe gestellt wurde. Daher kann ich nicht sagen worum es geht und was gewünscht wird. Versuch es doch mit dem Kommentar: "Durch Negation der Klammer der linken Seite folgt die Umwandlung des All-Quantors in den Existenz-Quantor und die Negation der Aussage A(x). Und genau das steht auf der rechten Seite."

> Durch Negation der Klammer der linken Seite erfolgt die ...  

so wäre es  wegen ⇔   weniger "angreifbbar"

@Frontliner:

Wenn du die offizielle Lösung hast, poste sie unbedingt. Würde mich extrem interessieren.

Okay, ich werde mich dann noch weiter damit beschäftigen :)

1 Antwort

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Beste Antwort

oder so:

∀ x ∈ M : A(x)   ist ja die UND-Verbindung aller

Aussagen A(x) für alle x  ∈ M .

Die ist nur wahr, wenn alle Einzelteile wahr sind, also ist

die Negation wahr, wenn mindestens ein Einzelaussage falsch ist.

von

Lässt sich die "UND-Verbindung aller Aussagen A(x) für alle x ∈ ℝ" in der Prädikatenlogik formalisieren?

Möglicherweise so

   Λ         A(x)
x ∈M

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