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Aufgabe:

In einem k-nären Baum hat jeder Knoten genau k oder 0 Söhne (ein binärer Baum ist zum Beispiel 2-när).

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass in einem k-nären Baum der Höhe h die maximale Anzahl an Knoten (k^h −1)/(k−1) ist.


Ansatz/Problem:

Der Induktionsanfang wäre ja h auf 0 zu setzen so das gilt das keine weiteren Söhne existieren. also (k^0 -1) / (k-1) = 0. Ist also eine wahre Aussage.

Nur beim Induktionsschritt tue ich mich ein wenig schwer. Zu zeigen ist ja das die obige Formel äquivalent ist zu (k^h+1  -1)/(k-1). Nur wie gehe ich da vor?

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Induktionsbeweis für die Anzahl der Knoten in einem k-nären Baum

Um zu beweisen, dass die maximale Anzahl an Knoten in einem k-nären Baum der Höhe \( h \) genau \( \frac{k^h - 1}{k - 1} \) ist, verwenden wir die Methode der vollständigen Induktion.

Induktionsanfang (IA):

Setze \( h = 0 \). Ein k-närer Baum der Höhe \( 0 \) besteht nur aus der Wurzel, hat also keine weiteren Knoten. Einsetzen in die Formel:
\( \frac{k^0 - 1}{k - 1} = \frac{1 - 1}{k - 1} = 0 \)
Das entspricht der Anzahl der Knoten in einem Baum der Höhe \( 0 \), da nur die Wurzel vorhanden ist und diese nicht mitgezählt wird, wenn wir von der Höhe \( 0 \) ausgehen. Tritt ein kleiner Missverständnis auf: Die Baumhöhe \( 0 \) bedeutet tatsächlich einen Baum ohne Knoten. Einen Baum mit nur einer Wurzel würde eine tatsächliche Höhe von \( 1 \) einnehmen, für die die Formel besagt, dass \( k^1 - 1 \) durch \( k - 1 \) geteilt \( 1 \) ergibt, was der Anzahl Knoten (nur die Wurzel) entspricht. Hier ist eine Korrektur bezüglich der Interpretation der Höhe nötig. Für unsere Induktionsbasis bei \( h = 1 \), stimmt die Formel, denn \( \frac{k^1 - 1}{k - 1} = 1 \), was die Wurzel korrekt zählt.

Induktionsschritt (IS):

*Induktionsvoraussetzung:* Die Anzahl der Knoten in einem k-nären Baum der Höhe \( h \) beträgt \( \frac{k^h - 1}{k - 1} \).

*Induktionsschritt:* Zu zeigen ist, dass die Formel auch für einen Baum der Höhe \( h + 1 \) gilt, d.h., dass die Anzahl der Knoten \( \frac{k^{h+1} - 1}{k - 1} \) beträgt.

Ein Baum der Höhe \( h + 1 \) besteht aus der Wurzel, plus \( k \) Unterbäume der Höhe \( h \). Nach der Induktionsvoraussetzung hat jeder dieser Unterbäume \( \frac{k^h - 1}{k - 1} \) Knoten. Also hat der gesamte Baum:
\( 1 + k \cdot \frac{k^h - 1}{k - 1} \text{ Knoten} \)
Das \( +1 \) steht für die Wurzel des Baums der Höhe \( h+1 \).

Nun formen wir diesen Ausdruck um:
\( 1 + k \cdot \frac{k^h - 1}{k - 1} = \frac{k^{h+1} - k + k - 1}{k - 1} = \frac{k^{h+1} - 1}{k - 1} \)
Die letzte Umformung zeigt die gewünschte Form der Behauptung:
\( \frac{k^{h+1} - 1}{k - 1} \)
Somit haben wir durch die vollständige Induktion bewiesen, dass in einem k-nären Baum der Höhe \( h \) die maximale Anzahl an Knoten tatsächlich \( \frac{k^h - 1}{k - 1} \) beträgt.
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