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Beweis durch strukturelle Induktion
Um die Eigenschaft \(ƒ(v.w)=ƒ(v)+ƒ(w)-1\) für alle \(v,w \in \Sigma^*\) mittels struktureller Induktion zu beweisen, müssen wir zwei Hauptfälle betrachten: Die Basis der Induktion und den Schritt der Induktion.
Strukturelle Induktion ist eine mächtige Technik, um Eigenschaften von durch rekursive Definitionen gegebene Strukturen zu beweisen. Dabei beweist man, dass eine Eigenschaft für den Basisfall gilt (oft die leere Struktur) und zeigt dann, dass wenn die Eigenschaft für eine einfache Struktur gilt, sie auch für eine daraus aufgebaute, komplexere Struktur gilt.
Basis der Induktion:
Der Basisfall für unsere Struktur \( \Sigma^* \) ist das leere Wort \( \epsilon \). Für das leere Wort \( \epsilon \) sagt uns die Definition, dass \( ƒ(\epsilon) = 1 \). Demnach müssen wir zeigen, dass die gegebene Eigenschaft für \( \epsilon \) gilt:
\( ƒ(\epsilon.\epsilon) = ƒ(\epsilon) + ƒ(\epsilon) - 1 \)
Einsetzen der gegebenen Definition von \( ƒ \):
\( 1 = 1 + 1 - 1 \)
\( 1 = 1 \)
Der Basisfall stimmt überein.
Induktionsschritt:
Nun nehmen wir an, dass die gegebene Eigenschaft für alle Wörter bis zur Länge \( n \) in \( \Sigma^* \) gilt. Dies ist unsere Induktionsannahme. Wir müssen zeigen, dass unter dieser Annahme die Eigenschaft auch für ein Wort der Länge \( n+1 \) gilt, also für ein Wort der Form \(av\), wobei \(a \in \Sigma\) und \(v \in \Sigma^*\).
Wir betrachten zwei Wörter \(v\) und \(w\) aus \( \Sigma^* \), wobei mindestens eines der Wörter (nehmen wir an \(v\)) die Form \(av'\) hat, wobei \(a \in \Sigma\) und \(v' \in \Sigma^*\). Wir müssen zeigen, dass
\( ƒ(av.w) = ƒ(av) + ƒ(w) - 1 \)
Unter Verwendung der Definition von \( ƒ \) erhalten wir:
\( ƒ(av.w) = 1 + ƒ(v.w) \)
Da \(v\) und \(w\) kürzer als \(av.w\) sind und nach der Induktionsannahme gelten:
\( ƒ(v.w) = ƒ(v) + ƒ(w) - 1 \)
Mit Einsetzen erhalten wir:
\( ƒ(av.w) = 1 + (ƒ(v) + ƒ(w) - 1) \)
\( ƒ(av.w) = ƒ(v) + ƒ(w) \)
Aber nach der Definition von \(ƒ\), speziell für \(ƒ(av) = 1 + ƒ(v)\), erhalten wir:
\( ƒ(av.w) = [1 + ƒ(v)] + ƒ(w) - 1 \)
\( ƒ(av.w) = ƒ(av) + ƒ(w) - 1 \)
Damit ist der Induktionsschritt gezeigt.
Zusammenfassung:
Durch den Beweis des Basisfalls und des Induktionsschritts haben wir gezeigt, dass für alle \(v, w \in \Sigma^*\) die Eigenschaft \(ƒ(v.w) = ƒ(v) + ƒ(w) - 1\) gilt. Dieser Ansatz der strukturellen Induktion zeigt, wie die definierenden Eigenschaften der Funktion \(ƒ\) systematisch genutzt werden können, um eine komplexe Eigenschaft für alle Elemente von \( \Sigma^* \) zu beweisen.
