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\( {L}_{1}=\left\{ {a}^{ 2{}^{n} }|n≥0 \right\} \subseteq \left\{ a \right\}* \) .

1)

(a) Geben Sie eine nichtverkürzende Grammatik an, die L1 erzeugt.
(b) Geben Sie eine Grammatik von Typ 0 mit nur 4 Regeln an, die L1 erzeugt.

2)

Geben Sie eine Grammatik mit maximal 5 Regeln an, welche die Sprache L2 = {w |  |w|a = |w|b} ⊆ {a,b}* erzeugt. Diese Sprache enthält alle Wörter aus {a,b}*, welche genausoviele as wie bs enthalten.

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Eine Definition für nichtverkürzende Grammatik findet ihr hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_Grammatik

Der Artikel ist etwas knapp. - auch in den verlinkten Sprachen. Falls in deinen Unterlagen zu wenig zu finden ist, kannst du ja mal "monotone Grammatik" suchen.

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Nichtverkürzende Grammatik für \(L_1\)

(a) Nichtverkürzende Grammatik für \(L_1\)

Eine nichtverkürzende Grammatik (auch kontextfrei) für die Sprache \(L_1 = \{a^{2^n} | n \geq 0\}\) ist schwieriger zu konstruieren, da \(L_1\) eine inhärent kontextsensitive Sprache ist. Nichtverkürzende Grammatiken sind im Allgemeinen kontextfrei, aber für solch eine spezifische Bedingung wie \(a^{2^n}\) benötigen wir Mechanismen, die über einfache kontextfreie Regeln hinausgehen.

Um \(L_1\) zu erzeugen, wird typischerweise eine kontextsensitive Grammatik verwendet. Allerdings, wenn man eine "nichtverkürzende" (im Sinne von, dass die linke Seite einer Produktion nicht länger als die rechte Seite ist) kontextsensitive Grammatik konstruieren möchte, könnte die Formulierung so aussehen:

1. \(S \rightarrow aSaa | \epsilon\)

Jedoch, diese Grammatik ist eigentlich ungültig, da sie nicht dem Kriterium der Nichtverkürzung entspricht, indem sie \(\epsilon\) auf der rechten Seite der Produktion hat. Korrekterweise, für eine echte nichtverkürzende und kontextsensitive Grammatik für \(L_1\), müssten komplexere Mechanismen eingeführt werden, die im standardmäßigen Rahmen kontextfreier oder nichtverkürzender Grammatiken schwer darzustellen sind.

Typ 0 Grammatik für \(L_1\) mit 4 Regeln

Eine Typ 0 Grammatik (unbeschränkte Grammatik) für \(L_1\) könnte einfacher formuliert werden:

1. \(S \rightarrow aSaa\)
2. \(S \rightarrow aa\)
3. \(aa \rightarrow aaaa\)
4. \(aaaa \rightarrow a^8\) (diese Regel wird rekursiv für \(2^n\) Mal wiederholt)

Allerdings ist Regel 4 nicht im traditionellen Sinne formuliert, da eine Regel, die explizit \(a^8\) erzeugt, die Idee von "nur 4 Regeln" verletzen würde und ebenso eine unendliche Menge solcher Regeln benötigen würde, um alle \(a^{2^n}\) für \(n\geq0\) zu generieren. Eine genauere Typ 0 Grammatik mit genau 4 Regeln ist innerhalb dieser Einschränkung nicht trivial darzustellen und würde unter normalen Umständen von der spezifischen Implementierung einer Typ 0 Grammatik abhängig sein.

Grammatik für \(L_2\)

Für die Sprache \(L_2 = \{w | |w|_a = |w|_b\}\), die alle Zeichenketten aus \(\{a, b\}^*\) enthält, die gleich viele \(a\)s wie \(b\)s haben, kann eine kontextfreie Grammatik mit maximal 5 Regeln angegeben werden:

1. \(S \rightarrow aSbS | bSaS | \epsilon\)

Diese Grammatik generiert alle Wörter mit genauso vielen \(a\)s wie \(b\)s, indem sie rekursiv \(a\)s und \(b\)s in einer balancierten Weise einfügt. Die Verwendung von \(\epsilon\) ermöglicht es der Grammatik, auch das leere Wort zu generieren, das die Bedingung erfüllt (gleich viele \(a\)s und \(b\)s, in diesem Fall null von beiden).
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