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Aufgabe:

L1 := { w#al#wR#bl | w ∈ {a,b}* , l ≥0 }

Zeigen Sie, dass die Sprache nicht kontextfrei ist.

L2 := { anbmc| n,m ≥ 1 }

Zeigen Sie, dass die Sprache nicht regulär ist


Problem/Ansatz:

Zu L1 :

Ich weiß leider nicht wie ich hier vorgehen soll.

Zu L2 :

Wir wählen Pumping Lemma Zahl P, sodass |z| ≥ P mit z ∈ L2.

Jetzt sei z = aPbPcP ∈ L2

|z| = 3P > P

u = aP-k

v = ak

w = bPcP

uvw = aP-k (ak)i bP cP  = ak(P-1+i) bPcP

Damit es jetzt kein Teil der Sprache mehr ist, müsste die Anzahl an a's 0 sein. Dies würde nur zutreffen, wenn k = 0 oder i = -(P-1) ist. Aber da i ∈ℕ0 ist und ich k nicht setzen darf geht das nicht. Oder darf ich k doch auf 0 setzen?

Mein anderer Gedanke war zu gucken ob die Anzahl der b's und c's übereinstimmen. Aber ich weiß nicht wie ich das gehen soll.

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Antwort mit KI erzeugt

Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen

Wir betrachten zuerst die Sprache \(L_1\).

L<sub>1</sub>:
\(L_1 = \{ w\#a^l\#w^R\#b^l \,|\, w \in \{a,b\}^*, l \geq 0 \}\)

Um zu zeigen, dass diese Sprache nicht kontextfrei ist, verwenden wir das Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen, das besagt, dass für jede kontextfreie Sprache \(L\) eine Konstante \(p\) existiert (die sogenannte Pumping-Länge), sodass sich jedes Wort \(z\) aus \(L\) mit \(|z| \geq p\) so als \(z = uvwxy\) darstellen lässt, dass für alle \(i \geq 0\) gilt:

1. \(|vwx| \leq p\)
2. \(|vx| \geq 1\)
3. \(uv^iwx^iy \in L\)

Wir wählen \(z = a^p\#a^p\#(a^p)^R\#b^p\). Dieses Wort ist ein Element von \(L_1\), da es der Bedingung genügt, dass \(w = a^p\) und \(l = p\). Nach dem Pumping Lemma sollte es möglich sein, \(z\) in die Teile \(u\), \(v\), \(w\), \(x\), und \(y\) aufzuteilen, so dass die oben genannten Bedingungen erfüllt sind.

Wir stellen jedoch fest, dass wegen der Symmetrie der Zeichenketten um die "#" Zeichen kein Teil \(v\) oder \(x\) gepumpt (d.h., wiederholt) werden kann, ohne die festgelegte Beziehung zwischen den Teilen des Wortes zu zerstören. Wenn wir beispielsweise den Teil von \(w\) oder \(a^l\) pumpen, würde das resultierende Wort die spezifische Form von \(L_1\) nicht mehr beibehalten, da die Symmetrie zwischen \(w\) und \(w^R\) bzw. die Gleichheit der Anzahl der \(a\)'s und \(b\)'s nicht mehr gewährleistet wäre.

L<sub>2</sub>:
\(L_2 = \{ a^n b^m c^m \,|\, n, m \geq 1 \}\)

Für die zweite Sprache \(L_2\) verwenden wir das Pumping Lemma für reguläre Sprachen, um zu zeigen, dass sie nicht regulär ist. Das Lemma besagt, dass für jede reguläre Sprache \(L\), eine Konstante \(p\) existiert, sodass sich jedes Wort \(z\) aus \(L\), mit \(|z| \geq p\), so als \(z = uvw\) darstellen lässt, dass für alle \(i \geq 0\) gilt:

1. \(|v| \geq 1\)
2. \(|uv| \leq p\)
3. \(uv^iw \in L\)

Ihr Ansatz für \(L_2\) war schon fast korrekt, jedoch scheint es, dass bei der Darstellung des Pumplemmas und bei der Wahl von \(u\), \(v\), und \(w\) ein Missverständnis vorliegt. Bei regulären Sprachen teilt man das Wort \(z\) nur in drei Teile - nicht fünf wie bei kontextfreien Sprachen. Hier ist ein korrigierter Ansatz:

Für \(z = a^pb^pc^p\), wählen wir spezifisch \(v\) so, dass es ganz aus dem \(a^n\) Teil von \(z\) besteht (z.B. \(v = a^k\) mit \(1 \leq k \leq p\)), da \(|z| = 3p > p\) und \(|uv| \leq p\), d.h., \(v\) und gegebenenfalls \(u\) enthalten nur \(a\)'s. Pumping (Ersetzen von \(v\) durch \(v^i\) für ein willkürliches \(i \geq 0\)) wird die Anzahl der \(a\)'s ändern, ohne die Anzahl der \(b\)'s und \(c\)'s zu beeinflussen, was dazu führt, dass das resultierende Wort nicht in \(L_2\) liegt, wenn \(i \neq 1\). Das zeigt, dass \(L_2\) nicht regulär ist, da das Pumping Lemma verletzt wird.

Zusammenfassend: Der Kern beim Beweisen mit dem Pumping Lemma liegt darin, ein spezifisches Wort \(z\) geschickt zu wählen und zu zeigen, dass kein mögliches Pumpen (\(i\)-faches Wiederholen eines Teils des Wortes) immer in der Sprache bleibt. Beide Beweise führen uns zu dem Schluss, dass \(L_1\) nicht kontextfrei und \(L_2\) nicht regulär ist, was das Ziel der Aufgabe war.
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