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Aufgabe:

Es sei EVEN-CFL $$=\left\{w | M_{w} \text { ist eine } \mathrm{TM}, \text { sodass } L\left(M_{w} \right) \text{ ausschließlich Worte gerader Länge enthält und kontextfrei ist.}\right .\}$$

Frage: Ist EVEN-CFL entscheidbar?

Versuche an dieser Aufgabe den Beweis von Entscheidbarkeit zu lernen.

Nun sagt der Satz von Rice ja aus, dass semantische Eigenschaften die nicht-trivial sind unentscheidbar sind.


Ansatz/Problem:

Dies greift doch hier, da es nicht um eine syntaktische Eigenschaft der TM, sondern um die Eigenschaft der Sprache geht, die nicht-trivial ist, da Sprachen existieren, die kontextfrei sind und Andere die nicht kontextfrei sind, wie die rekursive Sprache.

Ebenfalls existieren in beiden Sprache Fälle in denen gerade / ungerade Worte akzeptiert werden je nachdem.

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Entscheidbarkeit von EVEN-CFL

Um zu bestimmen, ob die Sprache EVEN-CFL entscheidbar ist, ziehen wir zunächst den Satz von Rice in Betracht. Der Satz von Rice besagt, dass jede nicht-triviale, semantische Eigenschaft einer Turingmaschine (TM) unentscheidbar ist. Eine Eigenschaft gilt als nicht-trivial, wenn sie nicht für alle berechenbaren Funktionen wahr ist und es mindestens eine berechenbare Funktion gibt, für die sie wahr ist, und mindestens eine, für die sie nicht wahr ist.

Die Frage, ob \(L(M_w)\) ausschließlich Worte gerader Länge enthält und kontextfrei ist, bezieht sich auf eine nicht-triviale, semantische Eigenschaft. Dies liegt daran, dass nicht alle Sprachen, die von Turingmaschinen erkannt werden, ausschließlich Worte gerader Länge enthalten, und ebenfalls nicht alle davon kontextfrei sind. Tatsächlich gibt es kontextfreie Sprachen, die ausschließlich Worte gerader Länge enthalten (ein einfaches Beispiel wäre \(\{a^nb^n | n \geq 0\}\)), und es gibt sowohl kontextfreie als auch nicht-kontextfreie Sprachen, die Worte unterschiedlicher Länge enthalten.

Da die Eigenschaft, dass \(L(M_w)\) ausschließlich Worte gerader Länge enthält und kontextfrei ist, eine semantische, nicht-triviale Eigenschaft der durch \(M_w\) beschriebenen Turingmaschinen ist, folgt aus dem Satz von Rice, dass EVEN-CFL unentscheidbar ist.

Es ist wichtig festzustellen, dass die Entscheidungsfrage nach der Kontextfreiheit und der Längenbeschränkung zusammen eine Komplexität erzeugt, die über die Entscheidungskraft von Turingmaschinen hinausgeht. Einfacher gesagt: Während manche Aspekte der Frage (z.B. das Erkennen von kontextfreien Sprachen oder das Überprüfen einer bestimmten Länge) isoliert betrachtet entscheidbar sein könnten, wird die Kombination dieser Eigenschaften, wie in EVEN-CFL vorgestellt, unentscheidbar.

Zusammenfassung:

EVEN-CFL ist unentscheidbar, weil die Frage, ob eine TM eine kontextfreie Sprache erkennt, die ausschließlich Worte gerader Länge enthält, sich auf eine nicht-triviale, semantische Eigenschaft bezieht. Der Satz von Rice verdeutlicht dieses Ergebnis, indem er allgemein die Unentscheidbarkeit von Fragen über nicht-triviale, semantische Eigenschaften von durch Turingmaschinen erkannten Sprachen feststellt.
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