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Frage:

Wandle die Formel mit beliebiger Variablenordnung in DNF um:

((c->c)&b&a<->((b<->b)->(b<->d)))&!(a|a&d)

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Formelumwandlung in DNF

Die gegebene Formel ist:
\( ((c \rightarrow c) \land b \land a \leftrightarrow ((b \leftrightarrow b) \rightarrow (b \leftrightarrow d))) \land \neg(a \lor a \land d) \)

Um diese Formel in Disjunktive Normalform (DNF) umzuwandeln, werden wir die Formel Schritt für Schritt vereinfachen und umwandeln. Zuerst werden wir die logischen Operatoren vereinfachen und anschließend die Formel so umformen, dass wir eine DNF erhalten.

Schritt 1: Vereinfachen der Implikationen

\(c \rightarrow c\) ist immer wahr, da jedes Element zu sich selbst equivalent ist. Also kann \(c \rightarrow c = 1\).

\(b \leftrightarrow b\) ist auch immer wahr, unabhängig vom Wert von \(b\), also \(b \leftrightarrow b = 1\).

Daher wird die Formel zu:
\( (1 \land b \land a \leftrightarrow (1 \rightarrow (b \leftrightarrow d))) \land \neg(a \lor a \land d) \)

Schritt 2: Vereinfachen des restlichen Teils

Das \(1 \rightarrow (b \leftrightarrow d)\) ist auch immer wahr, denn \(\rightarrow\) gibt den Wert falsch nur dann zurück, wenn das linke Argument wahr und das rechte Argument falsch ist. Da das linke Argument immer wahr (1) ist, können wir dies als immer wahr betrachten.

Die Formel vereinfacht sich somit zu:
\( (b \land a \leftrightarrow 1) \land \neg(a \lor a \land d) \)

\(b \land a \leftrightarrow 1\) kann als \(b \land a\) umgeschrieben werden, da etwas, das äquivalent zu wahr ist, einfach die Bedingung selbst sein muss.

Also wird die Formel zu:
\( (b \land a) \land \neg(a \lor a \land d) \)

Schritt 4: Vereinfachen des Negationsausdrucks

Da \(a \lor a \land d\) äquivalent zu \(a \land (1 \lor d)\) ist und \(1 \lor d\) immer wahr ist, kann das als \(a \land 1\), also einfach \(a\), geschrieben werden.

Daher wird die Formel zu:
\( (b \land a) \land \neg a \)

Diese Formel kann nicht gleichzeitig wahr sein, da \(a\) und \(\neg a\) nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Damit ist die finale Formel stets falsch oder \(\bot\), was bedeutet, dass die umgewandelte DNF einfach \(\bot\) oder 0 ist.

Zusammenfassung

Die ursprüngliche Formel vereinfacht sich nach den logischen Gesetzen zu einer Formel, die immer falsch ist. Daher ist die DNF der gegebenen Formel einfach 0 oder \(\bot\).
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