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Frage: Euklid-Korrektheit. ggT(a; b) = ggT(a' - b'; b') = ggT(a'; b') ?

Ich habe Probleme beim Nachvollziehen dieser Lösung:

Beweis.
A und B seien die ursprünglichen Werte bei Aufruf von Euklid(a,b,ggt).
a' und b' seien die Werte von a und b vor Ausführen des Schleifenrumpfs.


Terminierung: Bei jedem Durchlauf der Schleife wird entweder a oder b um den Wert der anderen Variablen reduziert. Da sie natürliche Zahlen sind, müssen sie nach endlich vielen Schritte gleich werden.


Korrektheit: Behauptung ggT(A;B) = ggT(a; b) ist eine Schleifeinvariante:
Bei Eintritt gilt A = a und B = b. O. B. d. A. sei a > b.
Nach Ausführen des Rumpfs gilt a = a' - b' und b = b'


Und damit ggT(a; b) = ggT(a' -  b'; b') = ggT(a'; b') (Satz).

(Hier meine Frage: Ich verstehe ggT(a;b) = ggT(a' - b'; b'), da man hier einfach nur das neue a; b bekommt, indem man die Werte vor dem Ausführen jeweils abzieht. Aber wieso schließt man daraus nun auf ggT(a'; b') ?

Ist das weil man mit ggT(a' - b'; b') man ab diesem Punkt sich nach dem Schleifendurchgang befindet und ggT(a',b') schon den die Werte vor dem neuen Schleifendurchgang beschreibt?

Weil nehmen wir an a = 5 und b = 2, dann wäre vor Schleifeneintritt ggT(A,B) = ggT(a;b) und ggT(a',b') = ggT(a;b), weil ja am Anfang a' = a und b' = b gilt. (a' und b' = Werte vor Ausführung der Schleife)

                                                                          ggT(a; b) = ggT(a' - b'; b') = ggT(a'; b') 

                                                                          ggT(5;2) = ggT (5 - 2; 2)   =/= ggT(5;2)

Das a' und b' ändert sich ja nicht während der Schleife.


Da bei Schleifeneintritt ggT(a0; b0) = ggT(A;B) war, folgt ggT(A;B) = ggT(a; b) nach Ausfuhrung des Schleifenrumpfs.
Die Korrektheit folgt dann direkt aus der Schleifeninvariante.

von

1 Antwort

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Hallo, es gibt verschiedene Varianten des euklidischen Algorithmuses. Wie lautet er bei dir genau? Das macht die Beantwortung deiner Frage etwas leichter.

von

Euklid(a,b,ggT)
while a =/= b
if a > b
a <- (a - b)
else
b <- (b - a)
ggT <- a

Hier ist der Algorithmus in Pseudocode

Aber wieso schließt man daraus nun auf ggT(a'; b') ?

\(a'\) und \(b'\) nach Voraussetzung die Werte von \(a\) und \(b\) vor Eintritt in den Schleifenrumpf.

Ist das weil man mit ggT(a' - b'; b') man ab diesem Punkt sich nach dem Schleifendurchgang befindet [...]

Ja.

[...] und ggT(a',b') schon den die Werte vor dem neuen Schleifendurchgang beschreibt?

Ja.

Das a' und b' ändert sich ja nicht während der Schleife.

,,\(a'\) und \(b'\) seien die Werte von \(a\) und \(b\) vor Ausführen des Schleifenrumpfs.''
\(a'\) und \(b'\) sind einfach nur Hilfsvariablen die nach dem Durchlauf neu gesetzt werden.

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