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Gegeben sind vier Zahlen, woraus offensichtlich sechs Paare ausgewählt werden können. Es ist bekannt, dass 5 der Produkte dieser Paare die Werte zwei, drei, vier, fünf und sechs ergeben. Welchen Wert hat das sechste Produkt?

Aber bitte mit Lösungsweg

von

Wenn das natürliche Zahlen sein sollen, muss die 1 dabei sein, denn 2*1 = 2.

Nun hast du aber hier 3 Primzahlen, die alle auch vorkommen müssen. Also 1,2,3,5

4 = 2*2 ist aber nicht möglich.

Dafür muss 15 und 10 noch möglich sein.

1 Antwort

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Hallo,

der Ansatz von Lu ist sehr schlau, wenn man die Lösung auf die natürlichen Zahlen einschränkt:

Wegen \( 2 \cdot 1 = 2 \), sind \( 2 \) und \( 1 \) zwei der vier Zahlen.

Seien die anderen beiden Zahlen \( c \) und \( d \) genannt. Dann gibt es Bedingungen

\( 1  \cdot c = p \) und \( 1 \cdot d = q \) für zwei unterschiedliche Zahlen \( p, q \in \{ 3, 4, 5, 6 \} \).

Es ist dann \( 2 \cdot c = 2 \cdot p = r \) und \( 2 \cdot d = 2 \cdot q = s \) für \( r, s \neq p, q \in \{ 3, 4, 5, 6 \} \). Es sind also \( c \) und \( d \) zwei Zahlen in \( \{ 3, 4, 5, 6 \} \), deren Doppeltes in \( \{ 3, 4, 5, 6 \} \) liegt.

Man sieht, dass in \( \{ 3, 4, 5, 6 \} \) keine zwei verschiedene solcher Zahlen existieren.

Somit ist die Lösungsmenge \( \mathbb{L} \) keine Teilmenge von \( \mathbb{N} \). (Dies ist ein Teilergebnis zu der Aufgabenstellung, aber natürlich nicht die Lösung.)

Viele Grüße

Mister

von

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